DA2009年高考数学（湖南）文.docVIP

2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（文史类）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D　2．B　3．C　4．A　5．B　6．C　7．A　8．C 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．12 10． 11．6 12．120 13．2 14．2， 15．， 三 解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（1）因为，所以，于是，故 tan=． （II）由知，+（cos2sin=5，所以 ． 从而，即sin2+cos2，于是 ． 又由0知，，所以，或． 因此，或． 17．解：记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ，1，2，3．由题意知，，相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且，，． （Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ． （Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 ． 18．解：（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面． 又平面，所以． 而，，所以． 又平面，故平面． （Ⅱ）解法1 过点作垂直于点． 连结．由（Ⅰ）知，平面平面， 所以平面．故是直线和平面所成的角． 因为DE平面，所以DEAC． 而是边长为4的正三角形，于是，． 又因为= 所以==， ，． 即直线AD和平面所成角的正弦值为． 解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是，，，． 易知=（，，），=（0，，0），=（，，0）， 设（x，y，z）是平面的一个法向量，则 解得，． 故可取． 于是 ． 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为． 19．解：（Ⅰ）=3．因为函数的图象关于直线对称，所以=2，于是． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，． （i）当时，0，此时无极值． （ii）当时，=0有两个互异实根，，不妨设＜，则＜2＜． 当x＜时，0， 在区间（，）内为增函数； 当＜x＜时，＜0，在区间（，）内为减函数； 当时，0，在区间（，+）内为增函数． 所以在处取极大值，在处取极小值． 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以． 于是的定义域为． 由得．于是 ． 当时，，所以函数在区间内是减函数，故的值域为． 20．解：（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为，由题设条件知，所以， 故椭圆C的方程为． （Ⅱ）椭圆C的左准线方程为，所以点P的坐标为．显然直线的斜率存在，所以直线的方程为． 如图，设点M，N的坐标分别为，线段MN的中点为G， 由得 ． ………………………………………① 由解得． ………………② 因为是方程①的两根，所以，于是 ，． 因为0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线，的方程分 别为，，所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即亦即 解得，此时②也成立． 故直线斜率的取值范围是． 21．解：（I）设满足题设的等比数列为，则．于是 ． 因此 ． 所以首项为1，公比为的等比数列是数列． （II）命题1：若数列是数列，则数列是数列． 此命题为假命题． 事实上，设=1，，易知数列是数列．但， ． 由n的任意性知，数列不是数列． 命题2：若数列是数列，则数列是数列． 此命题为真命题． 事实上，因为数列是数列，所以存在正数，对任意的，有 即，于是 所以数列是数列． （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （Ⅲ）若数列是数列，则存在正数，对任意的，有 ． 因为 ． 记，则有 ． 因此 ． 故数列是数列．