第一章概率论的基本概念第2讲要点.pptVIP

概率论与数理统计 福建师范大学福清分校数计系 第一章概率论的基本概念 第2讲 §5 条件概率 (一) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重要概念, 所考虑的是事件A已发生的条件下, 事件B发生的概率. 例1 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设事件A为“至少有一次为H”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率. 解：样本空间为S=(HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}. 已知事件A已发生, 知道TT不可能发生. 即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A中共有3个元素, 其中只有HH?B. 于是, 在A发生的条件下B发生的概率,记为P(B|A),为 另外, 易知 故有 (5.1) 对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件A已经发生的条件下B发生的概率, 则关系式(5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总数为n, A所包含的基本事件数为m(m0), AB所包含的基本事件数为k, 即有 定义 设A,B是两个事件, 且P(A)0, 称 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率. 不难验证, 条件概率P(?|A)符合概率定义中的三个条件, 即 1,非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)?0 2, 规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1; 3, 可列可加性: 设B1,B2,...,是两两互斥事件, 既然条件概率符合上述三个条件, 故§3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 对于任意事件B1,B2有 P(B1?B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A). 例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为第一次取到的是一等品, 事件B为第二次取到的是一等品. 试求条件概率P(B|A). 解 易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1), (4,2), (4,3)}, 共12个基本事件组成,A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4)}, 共9个基本事件组成,AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.共6个基本事件组成. 按(5.2)式, 得条件概率 也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得 另解1： 不写出样本空间S所包含的元素 另解2 已知在第一次取到的是一等品的情况下，产品的总数剩下3只，其中一等品2只。故所求的概率为： 补充例题: 全年级100名学生中,有男生 ( 以事件A表示 ) 80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中有32名男生，8名女生。现从这100名学生中任选出一名，试求出下列事件的概率： 解： (二)乘法定理 由条件概率的定义(5.2)可得 乘法定理 设P(A)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3) 上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4) 一般地, 设A1,A2,...,An为n个事件, n?2, 且P(A1A2...An-1)0, 则有 P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)... P(An-1|A1A2...An-2)P(An|A1A2...An-1) (5.5) 例3 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋中任取一只球, 观察其颜色后放回, 并再放入a只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.解 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i次取到红球, 例4 某种透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下来未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.解 以Ai(i=1,2,3)表示事件透镜第i