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全国2010高中数学联赛模拟试题一 　　一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 　　1. 1、函数的最大值是（? ） 　　A、2???????? B、?????? C、????????D、3 　　2. 已知，定义，则（? ） 　A．?????? ?B．?????????????? C．?????????? ?D． 　　3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为 （? ） ? 　　A．　　　　? B．　　　　? C．　　　　? D． 　　4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（? ） 　　A、??? B、3??????? C、?????? D、2 　　5. 已知（R），且 则a的值有 （? ）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 　　（A）个???? （B）个???? （C）个???? （D）无数个 　　6. 平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对 （? ） 　　A．不存在??? B．至少有一个??? C．至多有一个 D．恰有一个 　　二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 　　7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 　　8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 　　9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列． 　　10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是?????????? 　　11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）． 　　12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围???????? ???????????? 　　三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 　　13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1)? 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 　　14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD. 　　15. 设椭圆的方程为 , 线段 ?是过左焦点 ?且不与 ?轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 ?为正三角形, 求椭圆的离心率 ?的取值范围, 并用 ?表示直线 ?的斜率. 　　16. 在数列中， 　　（Ⅰ）试比较与的大小； 　　（Ⅱ）证明：当时，. 　　参考答案： 　　1.B 　　2. 解：计算 可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C. 　　3.B 　　4.B 　　5. D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 ????? ??????????． 所以当，且时，恒有． 由于不等式的解集为，不等式 的解集为．因此当时，恒有 . 故选（D）． 　6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]， 三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B. 　　7. 　　8. ?＝2005 　　9. 　　10. 36π 　　11. 390 　　12. 简解：设Ｂ点坐标为（y21–4,y1），Ｃ点坐标为(y2–4,y)　　显然y21–4≠０，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1　　　得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.　　当y=0时，点Ｂ的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点Ｂ的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点Ｃ的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4. 　　13. 【标准答案】 解：因为 所以，由正弦定理，得， 即又所以即 . ??? (1)= ???????? ???????