2014年重庆六校联考数学试题及答案.docVIP

2014年重庆六校联考试题 1. 圆心角为的扇形面积为，求它该扇形围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，其中一组4人，另外两组每组各3人，一共有多少种分法？ 3. 已知定义在上的函数满足，求的值. 4. 已知的值域为，求的取值范围. 5. 已知，且都为负实数，求的取值范围. 6. 已知在上为奇函数，求的值. 7. 求证：是无理数. 8. 已知实系数二次函数，方程有两个相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，求证：方程没有实数根. 9. 已知是等差数列，，问：是否可以同时在中，并证明你的结论. 10. 已知,，求证：. 【答案与解析】 1. 解：根据扇形面积的计算公式得， 解得扇形的半径，即圆锥的母线长，扇形的弧长为. 圆锥的底面圆的周长就是扇形的弧长，由此求得圆锥的底面半径， 所以圆锥的表面积. 2. 解：一共有 种分法. 3. 解：在中， 令，得； 令，得. 由猜想 下面用第二数学归纳法证明：①当时，命题显然成立； ②假设当时，命题成立，则当时，在中， 令，得， 由，解得，命题亦成立. 综上得所以. 4. 解：令，若的值域为， 由对数函数的图象知的取值范围即值域应包含. 由的图象可知的值域包含， 由此解得的取值范围为. 5. 解：由得，由都为负实数得 解得，所以. 因为， 所以的取值范围为. 6. 解：因为在上为奇函数， 所以，解得. 7. 证明：有理数的和，差，积，商仍为有理数. 用反证法证明：假设不是无理数，即是有理数， 则根据，知是有理数，但是无理数，矛盾，所以假设不成立，即是无理数. 8. 解：设 根据方程有两个相等的实数根， 得 .① 根据方程有两个相等的实数根， 得 .② 根据方程有两个不相等的实数根， 得.③ ①②得 .④ 由③④得没有实数根. 9. 解：不妨设. 用反证法证明：假设可以同时在中， 则设，① ，② .③ ②①得， ③①得， 两式相除得， 因为, 所以， 但， 即，矛盾， 所以假设不成立，不可以同时在中. 10. 证法1：由算术—几何平均不等式得： ， ， 两式相加得 ，故原不等式得证. 证法2：用数学归纳法证明：①当时，不等式显然成立； ②假设当时不等式成立，则当时， 由，知中一定有某个大于等于1，有某个小于等于1，不妨设 则， 所以. 由归纳假设得： ，即时，不等式亦成立. 综上得原不等式成立.