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第五讲 数列求和 ：数列求和——特殊数列求和 常用数列的前n项和： 拆项法： 例1.求数列的前n项和。 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 当时， 当时， 裂项法： 例2求数列前n项和 解：设数列的通项为bn，则 例3、求数列前n项和 解： 错位法： 例4、求数列前n项和 解： ① ② 两式相减： 例6、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且， 求数列{an}的前n项和 解：取n =1，则 又： 可得： 练习1. 求数列前n项和 2. 求数列前n项和 3 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1) 4. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an?1)，……前n项和 等差、等比数列的综合练习 例7．例三 已知数列中，是它的前项和，并且， 1? 设，求证数列是等比数列； 2? 设，求证数列是等差数列。 证：1? ∵ ∴， ∵ 两式相减得： 即： ∵ ∴ 即是公比为2的等比数列 2? ∵ ∴ 将代入： ∴成AP 例8. 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 解：设原来三个数为 则必有 ① ② 由①： 代入②得：或 从而或13 ∴原来三个数为2,10,50或  数列测试 一、选择题 1．在等比数列{an} (n∈N+)中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为(　　) A．2－128 B．2－129 C．2－1210 D．2－1211 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于(　　) A．126 B．130 C．132 D．134 4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为(　　) A.16n(n＋1)(n＋2) B.16n(n＋1)(2n＋1) C.13n(n＋2)(n＋3) D.13n(n＋1)(n＋2) 二、填空题 6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________. 7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________. 8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列\f(1bnbn＋1))的前n项和Sn＝________. 9．设关于x的不等式x2－x2nx (n∈N+)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 三、解答题 10．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N+满足关系式2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn1. 11．已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差 中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋150成立的最小正整数n的值． 答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6. 13(4n－1) 7. 12\a\vs4\al\co1(\f(34))n－1 8. 　nn＋1 9.10 100 10. (1)解 由已知得2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3) (n≥2)． 故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)． 故数列