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Chapitre 1 Courbes planes paramétrées1. Tangente et demi-tangente en un pointLa courbe est lensemble des points ou tels que de coordonnées, un intervalle de R. Sur cet intervalle, on suppose que est continue.Définition: , on dit que admet une tangente en la droite, avec, a une limite quand, cest à dire quand.Cette droite est alors la tangente à C en .On parlera éventuellement de demi-tangente si on a une limite à droite ou une limite à gauche. Voir la figure ci-dessous.Comme il y a, selon son orientation, deux vecteurs unitaires qui dirigent une droite, cela revient à ce que le vecteur unitaire admet une limite quand la tangente est alors la droite passant par et dirigée par ce vecteur.Définition: Un point est régulier.Définition: Un point non régulier est un point stationnaire.Théorème 1 : ? En un point régulier, la courbe admet une tangente dirigée par.Théorème 2: Soit un point stationnaire de , si est de classe suffisante au voisinage de , pour quil existe un vecteur dérivé non nul . Alors, admet en une tangente ou des demi-tangentes.Elles sont portées par ce premier vecteur dérivé non nul . On note habituellement lordre de dérivation de ce vecteur. 2. Formule de Taylor-Young pour une fonction vectorielle.Soit une courbe plane définie par deux équations paramétriques ,, ce qui revient à une équation vectorielleFaire appel au développement limité de au voisinage de soit au voisinage du pointen supposant que .On peut écrire en vecteur:Avec 3. Etude locale d’une courbe plane paramétréeEn revenant à la dimension DEUX, en supposant dérivable aussi loin que nécessaire, et en notant et les points de paramètres et , on a:Dans le cas général où et ne sont ni nuls ni colinéaires, soit , ces deux vecteurs constituent une base du plan, et dans le repère (M0X, M0Y) ainsi définies les coordonnées de sont:où et quand ; donc ,., la tangente à en est , et , montres que est, par apport à sa tangente, du c?té de soit . (Point à concavité, ou aussi ??poin