2013年高中数学教学论文 例谈用一元三次函数培养解题能力 新人教版.docVIP

例谈用一元三次函数培养解题能力 新的数学课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想，因此近年来高考以及各地模拟试题中，对函数的考查并不仅仅局限在一些常用的函数上，出现了不少以三次函数为背景的好试题，比较成功地培养和考查了学生各方面能力。 以三次函数为蓝本，培养学生分析运用函数性质的能力 考查函数的奇偶性和单调性 例1 已知函数f x x3+px+q x∈R 是奇函数，且在R上是增函数，则（ ） A、p 0,q 0 B、p∈R,q 0 C、p≤0,q 0 D、p≥0,q 0 解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D 考查函数图象的对称性 例2 函数f x x3-3x2+x-1的图象关于（ ）对称 A、直线x 1 B、直线y x C、点 1,-2 D、原点 解析 由f x ax3+bx2+cx+d a≠0 的图象关于成中心对称知选C 运用函数的性质和数形结合思想解题 例3 已知函数f x ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ） A、b∈ -∞,0 B、b∈ 0,1 C、b∈ 1,2 D、b∈ 2,+ ∞ 解析 显然f 0 d 0，由f x ax x-1 x-2 知a 0，又 y f x ax3-3ax2+2ax比较系数可知b -3a 0，故选A 引申 试确定的a,b,c,d符号（答：a 0,b 0,c 0,d 0） o 1 2 以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力 例4 设f x x3-x,M ｛x|1-k x k｝N ｛x| f x 0｝，若M N，求k的取值范围 解析 由f x 0解得x -1或a x 1，则N ｛x| x -1或a x 1 ｝，又MN，得0 k 1,0 1-k 1或k -1,1-k -1解得0 k 1或k∈ 故k的取值范围是（0，1） （2）、考查函数不等式等知识 例5 设函数f x x3 x∈R ，若时, 恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A、 0, 1 B、 -∞,0 C、 D、 -∞,1 解析 由函数f x x3在R上为奇函数知，又f x x3在R上为增函数，得即 设，由知 ,故选D （3）、考查二项式定理及函数知识 例6 设f x x3-3x2+3x+1，则f x 的反函数f-1 x 解析 结合二项式定理知f x x-1 3+2，令f x y有y-2 x-1 3得x-1 , x +1故f-1 x +1 以三次函数为核心，培养学生分析问题、解决问题的能力 以三次函数为核心，与不等式、数列、解析几何等知识结合综合考查学生分析问题、解决问题的能力。 例7 设f x x3，等差数列｛an｝中a3 7,a1+a2+a3 12，记Sn ,令bn an Sn，数列｛｝的前项和为Tn。 求｛an｝的通项公式和Sn 求的值 解析 （1）设数列｛an｝的公差为d，由a3 a1+d 7, ,a1+a2+a3 3a1+3d 12解得a1 1,d 3 ∴an 3n-2, ∵f x x3 ∴Sn an+1 2 bn an Sn 3n-2 3n+1 , ∴ 故 设曲线C的方程是y x3-x，将C沿x轴，y轴的正向分别平行移动t,s单位长度后得到曲线C1。 写出曲线C1的方程； 证明曲线C与C1关于点对称; 如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S 且. 解析 （1）曲线C1的方程为y x-t 3- x-t +s 证明：在曲线C上任意取一点B1 x1,y1 ，设B2 x2,y2 是B1关于A的对称点，则有，代入曲线C的方程得x2和y2满足的方程：S-y2 t-x2 3- t-x2 即y2 t-x2 3- t-x2 +S可知点B2 x2,y2 在曲线C1上。 证明：由曲线C与C1有且仅有一个公共点得 方程组有且仅有一组解， 消去y整理得3tx2-3t2x+ t3-t-s 0， 这个关于的一元二次方程有且仅有一个根所以且即9t4-12t t3-t-s 0且 ∴S 且 - 2 - 用心 爱心 专心