第二章导数与微分研究.docVIP

PAGE  PAGE 14 本 课 题 ： 第二章 导数与微分 第一节 导数的概念 目 的 要 求 ： 理解导数的概念，了解导数的几何意义，掌握曲线的切线方 程和法线方程的求法，了解函数可导与连续之间的关系。 重 点 ： 导数的定义及几何意义，导数作为变化率的概念。 难 点 ： 导数的定义；解决有关函数变化率的问题。 教 学 方 法 ： 讲授法。 一．导数定义 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处有增量时，函数有相应的增量，当时，若的极限存在，这个极限值就称为函数在点处的导数，并称函数在点处可导（或有导数），记作，即 （2—1） 也可记作。 否则，就说函数在点处不可导。如果不可导的原因是由于当时，为了方便起见，也说此时函数在点处的导数是无穷大。 如果函数在区间内的每一点都可导，就说函数在区间内可导。这时，对于区间内的每一个值，都有惟一确定的导数值与其对应，所以是的一个新函数，这个函数叫做函数对的导函数，记作，即 显然，函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即。 在不致于混淆的情况下，导函数也简称导数。通常所说的求导数，就是指求函数的导函数，求一个函数的导数的运算称为微分法。 由于导数是一种极限，那么它仍然存在着左右极限问题，但此时称其为左导数和右导数，若以和分别记函数在点的左导数和右导数，则 ； 。 定理1 函数在点可导且的充分必要条件是它在点的左导数和右导数皆存在且都等于，即 导数在工程技术中常称为变化率，表示函数在上的平均变化率，而表示函数在点处的变化率，反映了函数随自变量变化的快慢程度。 曲线在点处切线的斜率是函数在点处的导数，即。 需要注意的是，若，则，即切线垂直于轴。 根据导数的定义，计算导数可以分下面三个步骤： （1）求增量： （2）算比值： （3）取极限： 二．导数的意义 1.几何意义 函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾斜角，这就是导数的几何意义。 由导数的几何意义和直线的点斜式方程，立即可以得到曲线在点处的切线方程： 过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线，如果，法线方程为： 2．物理意义 变速直线运动的速度，就是路程关于时间的导数。与此类似，许多物理量其实质都是某一函数的导数。 如果在时刻从导体的指定截面上通过的电量为，则从时刻到内通过该截面的平均电流强度为，所以在时刻的电流强度为 　　　　 即交变电流的电流强度是流过的电量对时间的导数。 三．可导与连续的关系 定理：函数在点处可导，则在点处一定连续。 注：函数在某点处连续却不一定可导。 例。证明函数，在点处不可导。 证明 在点处有 左极限为： 右极限为： 左右极限不相等，所以不存在，即函数在点处不可导。此时，曲线在原点（0，0）处没有切线，但我们知道在处是连续的。 综合以上论述有：函数在一点处连续是在该点处可导的必要条件，但不是充分条件。因此如果函数在某点处不连续，则函数在该点必不可导。 内容小结： 导数就是函数增量相对于自变量增量的一个变化率，比如速度是路程关于时间的变化率，加速度是速度相对于时间的变化率，电流速度是电量关于时间的变化率，这些都可以用导数来描述。 课堂交流： 一．课堂提问：1．生活中那些涉及到变化率？ 2．已知路程随时间变化的规律，瞬时速度怎么计算？ 二．课堂练习解答。 课外作业及思考题： 一．课外作业：习题2-1 4，5 二．思考题：习题2-1 1，2，3，6 基 本 课 题 ：第二章 导数与微分 第二节 求导法则 目 的 要 求 ：熟练掌握函数和、差、积、商的求导法则；熟练掌握复合函数的求导法则。 重 点 ：函数和、差、积、商的求导法则；复合函数的求导法则。 难 点 ：复合函数的求导法。 教 学 方 法 ：讲练结合。 一. 函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 设函数、在点处可导，则函数、、（）在点处也可导，且有： （1）； （2）； （3）（）。 显然，由定理1中的（1）（2）可推广到有限多个函数。如： 特别的，为常数，由（2）有： 二. 反函数求导法则 设单调连续函数在点可导，且，则的反函数在对应点处可导，且 或 注意 （1）此法则说明的是函数的导数与函数反函数的导数关系：互为倒数。 （2）是对求导，是对求导。 三. 复合函数求导法则 如果在x点可导（x为定义域