密码学数学基础第六讲群.pptVIP

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2016-07-30 发布于重庆
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密码学数学基础第六讲群.ppt

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密码学数学基础第六讲群

第6讲群和子群;群的定义、性质，群中元素的阶、元素之间的关系；群与子群的关系：子群的判定，正规子群、商群；群与群之间的关系：群的同态、群的同构。;本节内容;一、群的定义; 若二元运算·还满足交换律，即：a·b=b·a，?a，b?G，则称G为交换群（可换群）或Abel群。;群的结构由定义的乘法决定，表示方式：群的乘法表。; 例3：设K4={e，a，b，c}，K4中的二元运算·由下列乘法表给出，判断K4是否为群？;① 运算·对G是封闭的；; 证明：（1）由于对任意整数a，b，a·b=a＋b＋4为整数，故所给运算·满足封闭性。;二、群的基本性质;三、群中元素的阶;例2 在群中，;Klein四元群的每个元素都是2阶元。; 定理3 设 G，*为群，则群中任何元素a与其逆元a-1具有相同的阶。;四、子群及其判定;下面介绍三个子群的判定定理。; 例2 设G，*为群，对任何a∈G，令，即a的所有幂的集合。证明H≤G。;例3 设，是A上的双射函数。;定理6.9 设H是G的子群，则（1）G是H在G中所有左（右）陪集的并；（2）H在G中的两个左（右）陪集或相等或不相交；（3）任意a,b∈G，则aH=bH （Ha=Hb）当且仅当b-1a∈H。; 推论6.1 设G是一个有限群，若H是G的子群，那么[G:H]*|H|=|G|，特别地，一个有限群的任一子群的阶必是这个群的阶的因子。; 课后作业习题：10、15、17 预习：循环群、置换群