2015数学建模-微分方程模型课题.pptVIP

指数增长模型的应用及局限性： 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数 逐渐下降 分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。 2.5 模型修改 模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r r N 从而有： （3.7） r N 是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。 为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。 r N 最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r N r-aN 此时得到微分方程： 或 （3.8） （3.8）可改写成： （3.9） 3.9 式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。 图3-5 对（3.9）分离变量： 两边积分并整理得： 令N 0 N0，求得： 故（3.9）的满足初始条件N 0 N0的解为： （3.10） 易见： N 0 N0 ， N t 的图形请看图3.5 Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 思考题： 一颗小树刚栽下去的时候长的比较慢，渐渐地，小树长高了而且长得越来越快，几年不见，绿荫底下已经可以乘凉了；但长到一定高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来。这一现象具有普遍性。现在我们来建立这种现象的数学模型。如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果树的生长速度正比与最大高度与目前高度之差，则又明显不符合中间一段的生长过程。综合考虑一下，如何建立数学模型？ 三、用Matlab软件求常微分方程的数值解 求微分方程（组）解析解的命令: dsolve ‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’ 在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等 表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为缺省. 例如，微分方程 应表达为：D2y 0. 解 输入命令: y dsolve D2y+4*Dy+29*y 0,y 0 0,Dy 0 15,x 结 果 为 : y 3e-2xsin（5x） 数学建模练习题 ： 通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为0.42：1。 渔业上称这种方式为固定量捕捞。 试建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变 ,并且在此前提下得到最高的年收获量。 要求：分四 个时间段完成以下任务： 1、第一时间段，认真读题，分析问题，注意“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词，通过微元法建立微分方程，并构思数学论文的结构，写出摘要。 2、第二时间段，在问题分析的基础上提出合理的问题假设，建立数学模型，写出初步的数学论文。 3、继续完成论文，在完成初稿的基础上修改和完善论文，以电子版的形式保存论文。 4、最后一个时间段是分析讲评论文。 * * * 微分方程模型 成都东软学院数学建模培训