高数4.3分部积分法资料.ppt

新课引入 作业 返回 上页 下页 目录 在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法” 。 但是， 对于形如 的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.　 注意到， 这些积分的被积函数都有共同的特点—— 都是两种不同类型函数的乘积。 这就启发我们把两个 这就是另一个基本的积分方法：分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分， 积分得: 分部积分公式 或 1 v 容易求得 ; 容易计算 . 由导数乘法公式： 第三节 分部积分法 第四章 例1 求 解: 令 则 ∴ 原式 另解: 令 则 ∴ 原式 解: 令 则 原式 例2 求 （课本 例3） 解: 令 则 ∴ 原式 例3 求 （课本例4） 解: 令 , 则 ∴ 原式 再令 , 则 故 原式 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 例4 求 （课本例7） 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令 , 则 原式 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 解题技巧: （自学课本例5～6） 解: 令 , 则 原式 例6（补充题）求 解: 令 则 原式 令 例7（课本 例10）求 解: 令 则 得递推公式 例8 求 （课本 例9） 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 说明: 分部积分题目的类型: 1 直接分部化简积分 ; 2 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; 注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C 例4 3 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 说明: 的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. 例9 已知 （补充题） 本节小结 分部积分公式 1. 使用原则 : 易求出, 易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 习题4-3 （2，3，4，5，6，7，11） 思考与练习 得 0 1 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 . 2. 求不定积分 解： 方法1 先分部 , 再换元 令 则 方法2 先换元,再分部 令 则 故 * * * *