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方法2： §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 4.均匀分布 返回主目录 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 在上一节用切比晓夫不等式估计概率有： 返回主目录 §2 方差 引言 随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均． 离散型： 连续型： 若级数 绝对收敛，则 若积分 绝对收敛，则 * §2 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？ 一、方差的定义 方差的算术平方根 称为标准差或均方差，记为σ X . 设X是一个随机变量，若E[ X-E X ]2存在， 则定义X的方差为D X E[X-E X ]2 1 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值集中，则方差 若X的取值分散，则方差 若方差D X 0，则X 以概率1取常数值 . 注 * 对于离散型随机变量X， 对于连续型随机变量X， 此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式： 例1：设随机变量X具有数学期望 * 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解： 例3： 解： * 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度 为： 三、方差的性质 1. 设C是常数,则D C 0; 2. 若C是常数,则D CX C2 D X ; 3. 若X1与X2 独立，则 D X1+X2 D X1 +D X2 ; 推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则 P125 例6---例8 * 例6： Xk pk 0 1 1-p p 例7： 例8：设活塞的直径 以cm计 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。 切比雪夫不等式 定理（切比雪夫不等式）：设随机变量 X 具有期望和方差， E X m， D X s 2 则对于任意正数e ，都有 3、定理 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 定理：（切比晓夫不等式） 设随机变量X有数学期望 , 对任意 0, 不等式 成立， 或 返回主目录 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录 例 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E X 7300，D X 7002 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例16 返回主目录 §2 方差 第四章 随机变量的数字特征 例16（续） 返回主目录 * 表1 几种常见分布的均值与方差 数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布 0－1分布 p p 1-p 二项分布b n,p np np 1-p 泊松分布 均匀分布U a,b 指数分布 正态分布 E X + Y E X + E Y E CX C E X E C C 切比雪夫不等式 D X 0当且仅当P X C 1,其中C E X 附注：D X E [X－E X ]2 E X2 －[E X ]2 D X + C D X 设 X，Y 相互独立，则 E XY E X E Y D X + Y D X + D Y + 2 E [X－E X ][Y－E Y ] 特别地，若 X，Y 相互独立，则D X + Y D X + D Y D CX C 2 D X D C 0 线性性质 方差 数学期望 数学期望 方差 线性性质 E C C D C 0 E CX C E X D CX C 2 D X E X + Y E X + E Y D X + Y D X + D Y + 2 E [X－E X ][Y－E Y ] 特别地，若 X，Y 相互独立，则D X + Y D X + D Y 设 X，Y 相互独立，则 E XY E X E Y 附注：D X E [X－E X ]2 E X2 －[E X ]2 D X + C D X D X 0当且仅当P X C 1,其中C E X 切比雪夫不等式 §3（后面不讲）.几种重要随机变量的数学期望及方差