非线性方程求解4.1-4.2资料.pptVIP

第四章 非线性方程数值求解;1）问题的提出 满足函数方程 f(x)=0 (1) 的x称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点. 如果函数?(x)可分解为 ?(x)=(x?s)mg(x) 且g(s )?0, 则称s是?(x)的m重零点或?(x)=0的m重根. 当m=1时，称s是?(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程 , 特别, 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程；若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。 ;理论上已证明，对于次数n=4的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示.因此对于f(x)=0的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。;;1)问题 给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)0,则方程f(x)在(a,b)内至少有一根 ,为便于讨论,不妨设方程f(x)=0在(a,b)内只有一个(重根视为一个)实根，求满足精度要求的近似值实根 。 2)概念及基本思想 概??????? 念： 二分法也称对分区间法、对分法等， 是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 基本思想 ：利用连续函数的零点定理，将含根区 间逐此减半缩小，就可以构造出收敛点列 来 逼近根 。 ;3)构 造 原 理 定理1.(根的存在定理) ??????这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函数值是否反号确定，那么注意到，将含根区间分为两个长度相等的子区间后，在这两个子区间上也可利用零点原理确定根在那个子区间上，如此继续下去就达到将含根区间逐步缩小的目的，此时，在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列 将它收敛于根 ，见下图??;a;4)解题思路 ;9;10;?1;; 二分法算法实现;例 证明方程 在区间[2, 3]内有一个根 ,使用二分法求误差不超过 0.5×10-3 的根要二分多少次？ 证明: 令 则;误差限为 只要取k满足 ;①简单并保证收敛; ;确定根所在的范围［a,b］对有的函数也是一 件困难的事。所幸的是，在实际应用中，根 据其物理或工程的背景，在绝大部分场合是 不困难的。对给定的函数也有确定范围的方 法。 ;第四章 非线性方程数值求解; 迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法，这种方法的关键是确定迭代函数?(x)，简单迭代法 用直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数?(x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多，因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一种迭代格式, 具有较快的收敛速度，由牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式。 ;简单迭代法(基本迭代法);如果由迭代格式 产生的序列 收敛,即 ：;例 用迭代法求方程 在 x=1.5 附近的一个根。 解 将方程改写成如下两种等价形式： ; 迭代法的几何意义 ;24;25;26;27;需要讨论的问题;定理4.1;证: 1o;：设方程 在区间 内有根 ， 则有 由 故 据此反复递推有 故当 时迭代值 ,即证. ; ;定理4.1指出:只要构造的迭代函数满足;注2：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收敛性;改进条件： ;改进条件： ;定义1：如果存在 的某个邻域 ，使迭代过程 对于任意初值 均收敛，则称迭代过程 在根 邻近具有局部收敛性。 定理4.2设 为方程 的根， 在 的邻域存在且连续并满足 , 则迭代过程局部收敛。 ;注2：由于事先x*未知，