二次型部分.pptx

第六章 二次型与二次曲面 ;6.1 实二次型 6.1.1 二次型的定义及矩阵表示 ; 2．矩阵形式： ; 例1 设二次型 ，试写出二次型 的矩阵.（ 为三元二次型） ; 例２ 将二次型 写成矩阵形式. 解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵 ; 例３ 设 ，试写出以 为矩阵的二次型. 分析： 是一个3阶对称阵，对应的三元二次型，把 与 合并后写出二次型. ;6.1.2 合同矩阵 1．定义6.2（合同）两个 阶方阵 和 ， 可逆矩阵 ，使 ，则称 与 合同（Congruent）. 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 阶方阵之间的一 种等价关系. 即 2．合同 等价，合同 等秩，反之都不成立．但不等秩，则一定不合同. ; 4．（二次型的变换）合同二次型 设二次型 ,经可逆线性变换 ( 可逆) 其中 ，即 与 合同， 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一个二次型关于不同变量的矩阵[我们教材是将变量看成 的一个基下的坐标， 是一个基到另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵]. ; 5．实对称矩阵 （不但和对角矩阵相似，也与对角矩阵合同）. 由于实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化.所以存在正交矩阵 ，使得 所以实对称矩阵 都与对角矩阵合同. 换句话说，就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只有平方项 而没有混合项 . 这就引出了二次型的标准形的概念. ;10; 则（1）可写为 . 但 不惟一. 当 是可逆阵时. （1）式是可逆线性变换. ;6.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交矩阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注意的是这种方法仅限于实二次型. ; 例5 用正交线性变换化实二次型为标准形. 解：（1）二次型 的矩阵为 ;14; 正交化： ; 单位化： ; 即 ; 得正交阵 . ;6.2.2 用配方法化二次型为标准形 如果不考虑正交变换，可以用可逆线性变换把二次型 化为标准形，得到标准形不是惟一的. ; ;21;22;6.3 正定实二次型 6.3.1 实二次型的惯性定律 我们知道 元二次型都可以通过一个可逆线性变换化为标准形，标准形不唯一，因为用不同的可逆线性变换把同一个实二次型 化为标准形时，这些标准形中的系数一般说是不同的.; 定理6.2 设 元实二次型 经实可逆线性变换 分别化成标准形 ;6.3.2 正定二次型 1．定义6.3 设有 元实二次型 ，如果对 且 ，都有 则称 为正定（负定、半正定、半负定）二次型. 的矩阵称为正定（负定、半正定、半负定）矩阵. ; 定理6.3 实二次型 正定 正惯性指数 （标准形中 个系数全为正）. 证明： 设 ，经实可逆性变换 化为 反证：若存在某个;与 正定矛盾，正惯性指数 . 维实向量 ，由 可逆知 故 为正定二次型. ;推论 6.1 实二次型 正定 的矩阵 的特征值全 大于 . ;推论6.2 实二次型 正定 实可逆阵 ,使 . ??明： 维实向量 可逆， . 所以, 是正定二次型. ; ;定理6.4 实对称阵 为正定的 的各阶顺序主子式都大于零. 即 ;32;