chapter03 (上) 量子力学中的力学量.docx

第三章量子力学中的力学量引言本章将讨论力学量怎样用算符来表示，以及引进算符后，量子力学中的一般规律所取的形式。3.1、表示力学量的算符3.1.1、算符的定义算符的定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符的表示：为强调算符的特点，通常在算符上方加“”号，但在不引起误会的地方，也常把“”省略。例如：等，它们都是算符。对任意函数和，，是微商算符，是开方算符，表示相乘，3.1.2、算符的基本性质（1）单位算符 如果算符作用到任意函数上，不变，即，则称为单位算符。（2）零算符 如果算符作用到任意函数上，有，则称为零算符。（3）算符相等 如果算符和作用到任意函数，且，则称算符和相等，。（4）算符之和 对于任意函数，，交换律，。结合律，。（5）算符乘积交换律（不满足）对任意函数，若，称和不对易；对任意函数，若，称和对易。结合律（6）算符的对易关系（6.1）对易子（式）：。如果和对易，则，(这里的0实际指)。如果和不对易，则。（6.2）反对易子（式）：。如果和反对易，则。（6.3）对易子（式）满足的代数关系，，，，，Jacobi恒等式（6.4）对易式和反对易式的关系（7）逆运算如果，可以唯一的解出u，则之逆为，如果算符的逆存在，则：不难证明，。注：并非所有算符都存在逆算符，如投影算符不存在逆算符。（8）算符的函数 给定一个函数，其各阶导数都存在，幂级数展开收敛，则可定义算符的函数为，例如，,，则可定义。两个（或多个）算符的函数也可类似定义。例如，令，则，但应注意，除外，上述定义有不确切之处，因为两个算符的乘积次序未确定。（9）线性算符 如果算符和任意函数，满足，，式中，为任意常数，则称为线性算符。 在量子力学中碰到的算符并不都是线性算符（如，时间反演），但是用来刻画力学量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的要求。（10）算符的复共轭、转置和厄米共轭（10.1）内积（标积），性质，，，，。（10.2）算符的复共轭 算符的复共轭算符定义为，通常可由表达式中所有量换成其共轭复量构成。例如，在坐标表象中，动量算符，则。矢量表达式为。注：算符的表达式与表象有关系。在动量表象中，（10.3）算符的转置 算符的转置算符，其定义式为，，为任意函数，或者，。例如，，证明：其中，，按转置算符的定义式，上式左边＝，由为于任意函数，所以，，即在坐标表象，可以证明：。（10.4）算符的厄米共轭算符的厄米共轭算符定义为，或者，。由，可知，即一个算符的厄米共轭算符等于这个算符的转置复共轭算符。可证，=。（11）厄米算符 如果算符和任意函数，满足，或，则称为厄米算符，也称自共轭算符。和算符的厄米共轭算符的定义［］比较可知，如果一个算符是厄米算符，那么这个算符的厄米共轭算符为其本身，。 可证，任意两个厄米算符之和为厄米算符，但两个厄米算符之积不一定为厄米算符。除非两者对易。设为厄米算符，则=。当时，，由上式，则，那么为厄米算符。当时，为不是厄米算符。由为厄米算符，可以构造厄米算符，，，由此证明，任何算符可以分解为，，其中，，，都是厄米算符。 在量子力学中，用来表示力学量的算符都是厄米算符。（12）厄米算符的几个定理（12.1）任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。证：，即必为实数。（12.2）逆定理：任何状态下，平均值为实数的算符必为厄米算符。 证：则为厄米算符。注：实验上的可观测量，要求任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄米算符。（12.3）推论：设为厄米算符，则任意态下，（13）厄米算符的本征值与本征函数（13.1）算符的本征方程如果算符作用于一个函数上，结果等于一个常数乘以这个函数，，则，：的本征值，：属于的本征函数，上式方程：算符的本征方程。（13.2）厄米算符的本征值和本征函数定理一：厄米算符的本征值必为实数证：设，，由厄米算符的平均值必为实数，可得，定理二：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。 证(分离谱)：设，，则，由定理一得，，即，由，可知，。（13.3）量子力学中力学量的算符假设一：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换为算符而得出，即：。如经典力学中的角动量，，量子力学中的角动量算符为，。至于那些只在量子力学中才有，而在经典力学中没有的力学量（例如自旋），其算符如何引进？将在后面讨论。算符和它所表示的力学量之间的关系应当怎样理解呢?量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符。假设二：如果算符表示力学，那么体系处于的本征态中时，力学量有确定值，这个值就是在态中的本征值。3.1.3、坐标算符和动量算符的厄米性利用厄米算符的定义，可以直接验证：坐标算符和动量算符都是厄米算符。因为是实数，有，对于动量算符的一个分量，有。最后一步是假设在时等于零。当和为的本征态时，，虽然在时