实变函数(全).ppt

第一节 集合的概念第二节 集合的运算 1. 集合的基本概念及运算 2.集簇的交和并 集簇的交 例 例 例 笛卡尔乘积 3.集合的运算性质 4.上、下极限集 下极限集 极限集 单调增集列极限 单调增集列极限分析 单调减集列极限分析 例 （补充）例1 例 2 第三节 对等与基数 １ 映射的定义 例 3 对等与基数 例 基数的大小比较 1. 开集、闭集 例：开区间 a,b 为开集 例：闭区间[a,b]为闭集 注：闭集为对极限运算封闭的点集 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 Eo为开集 E`为闭集 E`为闭集 2 开集与闭集的对偶性 开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 3 开集的性质 a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 闭集的性质 a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 5 .隔离性定理及点集间的距离 隔离性定理 设 是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个 互不相交的开集 ，使得 点集间的距离 思 考 问题2：两个闭集 不相交，下面的结论一定成立吗？ 如A n - 1/n ,B n+1/n （都是闭集） 上面条件换成有界闭集呢？ 定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集 ， x∈Rn ，则必有y∈A,使得d x,y d x,A 定理（距离可达性定理2） ：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A, y∈B,使得d x,y d A,B 定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f x ，使得 （1）0≤ f x ≤ 1， x∈ Rn （2） f x 0， x∈ F1; f x 1, x∈ F2 6.R中有关紧性的两个结论 ⑴Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一 个聚点. ⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 设F为Rn 中的有界闭集，若开集簇 覆 盖F， 即 ， 则 中存在有限个 开集U1 ，U2， … ,Un，它同样覆盖F 定义 （紧集）：设M是度量空间X中的一集合， 是X中任一族覆盖了M的开集， 如果可从中选出有限个开集U1 ，U2， … ,Un仍然覆盖M，则称M是X中的紧集 定理（紧集的充要条件）（P303）：设X是度量空间，M是X中一子集，则M是X中的紧集的充要条件为对M中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素. 但在一般的度量空间中，紧集必为 有界闭集，而有界闭集不一定为紧集 定理： 设M是度量空间 中的紧集，则M是X中的有界闭集 可数覆盖定理 设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， … ,Un ，… ，它同样覆盖F 7 自密集和完备集的定义 自密集：设 ，如果 ，则称E 为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。 例：有理数集Q为自密集 完备集：设 ，如果 ，则称 E为完备集。 例：任何闭区间及全直线都为完备集 7. 直线上的开集构造 定义（构成区间） 设G为直线上的开集，如果开区间 而且端点 不属于G，则称 为G的 构成区间。 例如： 定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间 （3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合 8.Cantor集 ⑵Cantor集的性质 c. P没有内点 d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点 数的进位制简介 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 e. P的势为 （利用二进制，三进制证明） 康托集P为完备集（由完备集的构造性定理可得） 第一节 外测度 1.引言 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） 圆的面积 达布上和与下和 Jordan测度 例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测 2 Lebesgue外测度 外包 下确界： 例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集， 思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间[0,1] 思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1]（除有限个点外） （2）Lebesgue