集合论与无穷.ppt

集合论与无穷;1.问题的引入——有限和无穷;写作的年份 涵盖的事件 1720 1700年1月1日 1721 1700年1月2日 1722 1700年1月3日 …… …… 但是，每一天对应于一年，每一年对应于一天。对于任何一天，在未来都由指定的一年去记录它，绝无例外。“香迪的传记不会遗漏任何部分。” 罗素的香迪悖论在常识看来不可思议。事实上，当我们逐渐了解集合论中的无穷观点后，就可以明白这一论证是正确的，并无荒谬之处。;无穷集合的概念 集合论的基础 集合论的意义;无穷集合（元素个数无穷）——一个“矛盾”的集合 Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，他认为潜在的无穷（大）需要和真实的无穷（大）加以区别。 微积分——重建数学基础 微积分理论遇到严重的逻辑困难 对微积分基础的严密论证成为集合论产生的一个重要原因 ;在重建微积分理论的过程中，Bolzano （波尔查诺）是第一个朝着建立集合的明 确理论方向采取了积极步骤的人，他维 护了集合的存在，并强调了两个集合等价的概念，即两个集合元素间的一一对应关系。他注意到无限集合的部分或子集可以等价于整体，例如0到5之间的实数可以通过公式 与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集。但是他同样也遇到了一些问题在他看来属于悖论的，因此他认为这些不必深入研究。;; 随着实数不可列性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：平面和直线之间可以建立一一对应，证明简述为 只需证明区间(0,1)和单位正方形上的点一样多即可。 在区间(0,1)内的点都可以表示成一个无穷小数，比如0.2574892…… 如果是1/4，可以表示成0…。 以0.257489257621……为例  我们把它的奇数位和偶数位分别取出来 得到两个新的???0.278272……和0.549561…… ; 1845.3.3－1918.1.6;过去数学家认为靠得住的只有有限，而无穷最多只是模模糊糊的一个记号。而康托尔把无穷分成许多“层次”。在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷。 我们不妨看一些有关这些无穷集合分类的最基本的证明，了解一些最基本的数学思想 。 首先康托尔证明了有理数是可数集 随后他又证明了实数是不可数集 ; 实数不可数集 （局部化思想） 在（0，1）上考虑 实数可表示为 0. … 为非负整数 1 0. …… 2 0. …… 3 0. …… …… 令 b=0. …… 当 =5， =4； 当 ≠5 =5。 b=0. … … = 矛盾！ ; 随着实数不可列性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：平面和直线之间可以建立一一对应，证明简述为 只需证明区间(0,1)和单位正方形上的点一样多即可。 在区间(0,1)内的点都可以表示成一个无穷小数，比如0.2574892…… 如果是1/4，可以表示成0…。 以0.257489257621……为例  我们把它的奇数位和偶数位分别取出来 得到两个新的数0.278272……和0.549561…… ;以它们作为横坐标和纵坐标的点是单位正方形内的一个点 。所以区间(0,1)内的任意点都可以在单位正