第四章线性方程组的迭代法说课.pptVIP

;§4.1 迭代法的基本思想 迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值 ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。 ;设 非奇异， ，则线性方程组 有惟一解 ，经过变换构造出一个等价同解方程组 将上式改写成迭代式; 如果 存在极限 则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。 收敛时，在迭代公式 中当 时， , 则 , 故 是方程组 的解。 对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。 并非全部收敛 ;例1 用迭代法求解线性方程组 ;§4.2 雅可比（Jacobi）迭代法 §4.2.1雅可比迭代法算法构造 ;取初始向量 进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列： （k=1, 2, …） 直到求得的近似解能达到预先要求的精度， 则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线 性方程组的解。 当迭代到第10次有 计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精 确解x*= (3, 2, 1)T。 ;考察一般的方程组，将n元线性方程组 ;§4.2.2 雅可比迭代法的矩阵表示 设方程组 的系数矩阵A非奇异，且主对 角元素 ，则可将A分裂成 ;则 等价于;雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即 ;4.2.1 雅可比迭代法的算法实现 ;§ 4.3 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 § 4.3.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想 在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前必威体育精装版的迭代值，即在求 时用新分量 代替旧分量 , 就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为： ;例3 用Gauss?Seidel 迭代格式解方程组 ;§ 4.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示 将A分裂成A =D-L-U，则 等价于 (D-L-U )x = b 于是,则高斯—塞德尔迭代过程 ;§ 4.3.3 高斯—塞德尔迭代算法实现 高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图与雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元 的某个新值 后, 就改用新值 替代老值 进行这一步剩下的计算。 ;§ 4.4 超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算 量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。 ;§ 4.4.1超松弛迭代法的基本思想 超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速度，在高斯—塞德尔迭代公式的基础上作一些修改。这种方法是将前一步的结果 与高斯-塞德尔迭代方法的迭代值 适当加权平均，期望获得更好的近似值 。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，有着广泛的应用。 其具体计算公式如下： ;⑵　把 取为 与 的加权平均，即 ;例4 用SOR法求解线性方程组 ; § 4.5 迭代法的收敛性 我们知道, 对于给定的方程组可以构造成简单迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收敛。现在分析它们的收敛性。 对于方程组 经过等价变换构造出的等价方程组 ;定理 对给定方阵G, 若 ,则 为非奇异矩阵,且 ;矩阵序列极限定义 （p131 定义4.12）;基本定理5 迭代公式