第四章定积分第01讲说课.ppt

§4.1.1问题的提出 定积分的几何意义 三、牛顿—莱布尼茨公式 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程函数为 另一方面这段路程可表示为 一、问题的提出 牛顿—莱布尼茨公式 考察定积分 记 二、积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质 证明 由积分中值定理得 积分上限函数的性质 可导， 则它与积分上限函数 构成复合函数 定理1推广 则， 解 证明 由复合函数求导法，得到 积分上限函数的性质 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系. 二、积分上限函数及其导数 证明 我们可以选择有利于计算 的‘分割区间’与‘取点’的方法, 然后 通过计算极限求出定积分的值。 可积 某一特殊分割和特殊取点 法, 极限存在. 任意方法取 点， 任意分割积分区间，及在 极限都存在; 解 @2 用定积分的定义计算 解 : 为便于计算将[a,b] 区间 n 等分, 整理和式为一个紧凑的形式 : 分点为： 为整理和式为一个紧凑的形式 : 用定义来计算定积分是很困难的. 一是积分和式的整理一般是相当困难的, 大多甚至得不到结果； 二是即便能整理出一个公式, 极限的计算往 往也很困难. 第一节 §4.1.1 积分问题举例 §4.1.4 定积分的性质 §4.1.5 微积分基本公式 基本概念 §4.1.2 定积分的定义 对定积分的补充规定: 证明: 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 证明: 由常数可提到求和号/极限号外面来即得. 常数的积分: k 线性运算的积分 积分的线性运算 ---推广到n个[a,b]上可积函数的线性组合计算. 整个区间上的积分 各部分区间上积分之和 证： 在分割时，让c 是一个分点，则有 令 , c A2 A1 上式两端同取极限即得结论成立. 例如 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 证明 保号性 性质6 证明 保序性 性质7： 绝对值性质 证明 基本估值不等式 m M 基本估值不等式 ? x 0 解: 解:….. 证明 由介值定理, 即 积分中值公式的几何解释： 平均高度 ——函数 在区间[a, b]上的积分平均值 证明 设 证明 设 用定义来计算定积分是很困难的. 一是积分和式的整理一般是相当困难的, 大多甚至得不到结果的； 二是即便能整理出一个公式, 极限的计算往 往也很困难. 因此有必要寻找新的计算方法, 这就首先需要了解定积分的性质，先考察最基本的性质. 第一节 基本概念 §4.1.1 问题的提出 §4.1.4 定积分的性质 §4.1.5 微积分基本公式 §4.1.2 定积分的定义 * Definite integrals and its Applications in One Variable 本章内容 定积分概念、性质 微积分学基本定理 Newton-Leibniz 定积分与不定积分的关系 积分的计算——两大基本积分法 定积分的应用 微元法研究函数整体性态 第一节 §4.1.1 积分问题举例 §4.1.4 定积分的性质 §4.1.5 微积分基本公式 基本概念 §4.1.2 定积分的定义 实例1 几何问题__求曲边梯形的面积 曲边梯形：由连续曲线 a b x y o 曲边梯形的面积计算 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多， 矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 解决问题的基本思想—— 局部“以直代曲” 求得面积的近似值， 最后通过取极限，得出面积的准确值。 具体做法： 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 求变速直线运动的路程 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 1 分割 部分路程值 某时刻的速度 2 求和 3 取极限 路程的精确值 许多类似的实际问题：“求一个整体量 ——To integrate ” 最终在数学上都归结为: 求一种特殊结构的和式的极限—— 就是所谓的定积分。 §4.1.2 定积分的定义 被积函数 被积表达式 积分变量 积分上限 积分下限 因此前面两个问题可以分别写为 面积 路程 定义2. 定义2. 注意 G.F.B.Riemann 1826-1866 3 可积 可积 某一特殊分割和特殊取点 法, 极限存在. 实际上 任意方法取 点， 任意分割 及在 极限都存在; 极限过程是 4 定义中区间的分法、 i x 的取法是任意的. 例 Dirichlet函数在