3. L.Hospital法则.pptVIP

* * * * * * * * * 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 ---洛必达法则 §5.2 L.Hospital法则 在第二章求极限时， 我们遇到过许多无穷小量之比 或无穷大量之比的极限． 我们称这类极限为未定式． （Indeterminate Form 例如， 都是无穷小量之比 的极限。 又如， 都是无穷大量之比 的极限。 它们不能用“商的极限等于极限的商”的规则运算， 但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限. 定理1 则 证 注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞. ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限. ③ 如： 定理1’ 结论同样成立. ④ 解 例2 解 例1 例3 解 例4 解 原式 例5 解 法则. 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些. 例6 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。 定理2 则 证 从而有 另一方面， 上式的右边的第一个因子有界; 第二个因子对固定 这就证明了 的 x 有 注 件要作相应的改变. 例7 解 例8 解 例9 解 3 式不成立. 这就说明: 我们再举一例: 例10 解 因为 所以 A 1. 若错误使用洛必达法则： 这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法 则前，必须首先要判别它究竟是否是 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 仍可使用L.Hospital法则来求极限. 三. 其他类型的不定式极限 步骤: 即将其中一个因子下放至分母就可转化为 例9 但若采用不同的转化方式: 步骤: 例10 解 例11 解 步骤: 例13 解 例12 解 几点说明 ① L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为∞，当定理的条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不∞，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：“失效” 极限不存在 解 例如 ③L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好. ④使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则）. ⑤可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算. ②L.Hospital法则只能对 这两种基本未定式 才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化. 四、小结 洛必达法则 思考题： 证明 证 分两种情况 ① ，则连续使用μ次法则，得 ② 则连续使用[μ]次法则，得 本例说明： 但它们趋于+∞的速度有快有慢 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、指数函数 这一点从图上即可看出 o x y * * * * * * * * * * * * * * *