1拉格朗日定理和函数的单调性.pptVIP

* * 定理5.3 证 定理5.4 可微函数 f x 在区间 I 上严格递增的充 即 证 并且在区间 I 的任何子区间内 要条件是： 矛盾. 充分性得证. 注 请写出相应于递减和严格递减的判别定理. 必要性请读者自证. 利用单调性证明不等式 例9 求证 证 恒有 例10 设 证明 [分析] 如图所示 o x y 结论是显然的 证一 总之有 证二 或令 例11 证 或 利用单调性证明不等式的步骤： ① 将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f x ； ② 求 验证f x 在指定区间上的单调性； ③ 与区间端点处的函数值作比较。 思考题： 证明 证 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §5.1拉格朗日中值定理 和函数的单调性 第五章 微分中值定理 质来得到 f 在该区间上的整体性质. 中值定理, 就可以根据 在区间上的性 中值定理是联系 与 f 的桥梁. 有了 定理5.1 Rolle 罗尔 中值定理 一、罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间 a, b 内至少存在一点?, 使 i 在闭区间 [a, b] 上连续; ii 在开区间 a, b 上可导; iii f a f b . 1 几何意义 在每一点都可导的一 直观可以看出, 曲线上至少有一点处的切线也是水平的. 所以线段 AB 是水平的.由几何 因为 f a f b , 段连续曲线上，如果曲线 的两端点高度相等，则至 少存在一条水平切线。 证明 因为 f x 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、 情形1 M m.此时 f x 恒为常数,它的导函数恒 f ? ? 0 . 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 最小值定理,f x 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 等于零,此时可在 a, b 内随意取一点 ? , 就有 情形2 m M. 既然最大、最小值不等,从而最大 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以 使得 大值不在端点取到,故存在 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最 由费马（Fermat）定理,得 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 在 [0, 1] 上满足条件 ii 和 一定成立. 数在 0, 1 上的导数恒为1. iii , 但条件 i 不满足,该函 满足条件 i 和 iii , 但条件 条件 i 和 ii ,但条件 iii 满足 处不可导 , 结论也不成立. ii 却遭到破坏 f 在 x 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 0, 1 -1 O 1 2 1 2 3 4 条件都不满足, 却仍有 f ? 0 0. 这说明罗尔定 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件. 这与条件矛盾. 例1: 设 p x 是一个多项式, 且方程 p x 0 没有实 证 根, 则方程 p x 0 至多有一个实根. 例2. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1 存在性 . 则 在 [0,1] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于1的正根 2 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 间至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 例3 设 ， 在 0，1 内至少有一个零点. 证明多项式 亦即 f x 在 0，1 内至少有一个零点. 即 ， 证： 则在[0，1]上满足Rolle定理条件， 令 至少有一点 ，使 . 例4 证 由Rolle定理知 即为方程在 内 的实根. 说明: 证明 在 内有根用零点定理. 证明 在 内有根用罗尔定理. 设函数 f x 满足： 定理5.2 Langrage 拉格朗日 中值定理 i f x 在闭区间 [a, b] 上连续; ii f x 在开区间 a, b 内可导. 那么在开区间 内 至少 存在一点 , 使得