高中数学难题集15探析.doc

高中数学难题集15 1、已知a，b，c是正实数，且abc＋a＋c＝b，设，求p的最大值。 解：设，其中 由已知 ，故 注：出现这些结构，可考虑正切换元。 2、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝eq \f(2π,3)时，证明：点P在一定圆上． 证明：设点P（x，y），则＝tanβ＝eq \F(y,x＋eq \R(,3)),＝tanα＝eq \F(y,x－eq \R(,3))， 因为tan(β－α)＝eq \F(tanβ－tanα,1＋tanαtanβ)＝eq \F(－2eq \R(,3)y,x2＋y2－3)，故轨迹为圆 注：处理角度问题：余弦定理，向量夹角，直线到角等。 3、已知整数的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC。 （1）当n=5时，求集合A1，A2，…，AC中所有元素之和； （2）设mi为Ai中的最小元素，设 解：（1）当含元素的子集有=6个， 元素之和为(1+2+3+4+5)×（2）以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有个，以3为最小元素的子集有，…，以n-2为最小元素的子集有个。则 注：由于，故 4、若，且，则的最小值为 . 解：由已知，故 5、设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 解：等价于恒成立，求导分析知 故恒成立，分离参数知恒成立，故 注：本题若利用求解则非常繁琐。 6、设中角所对的边分别为，且. （1）求角的大小；w ww.ks5 u.co m （2）若，试求的最小值. 解：（1）因已知，即， 则，化简得，所以 （2）因余弦定理，即 所以=，故的最小值为 7、将一枚硬币连续抛掷次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为，正面向上的次数为偶数的概率为. （1）若该硬币均匀，试求与； （2）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较与的大小. 解：（1），故 （2）因为， ，而，∴ ，∴ 8、如图，已知椭圆C：，是其下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于两点，若点恰好是线段的中点，则此椭圆的离心率 ． 解：设为右准线，作,作，作,由于，利用相似三角形得： 注：本题若用代数方法求解，用表示出点的坐标代入椭圆中，计算量极大。 9、函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且，若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围． 解：当或时,,故. 由已知两切线重合的充要条件是 由①及知,；由①②得. 令，则且，求值域知 10、设函数在R上存在导数，对任意的有，且在 上，，若求实数的取值范围。 解：设，由已知 故在上也恒成立；即在上恒成立 构造，故在上单调递增。 目标不等式等价于 注：本题由 11、已知为的三个内角, 向量,.当最大时,存在动点, 使得成等差数列, 求的最大值。 解： 当时取等号，此时可设 以中点为原点，为轴建立坐标系，由知的轨迹方程为椭圆，而， 可求出时，，故所求的最大值为 12、已知A、B两点在椭圆上运动，，是椭圆C上两个定点且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由。 B A P Q O x y 解：等价于的倾斜角互补，由已知，故，其中的斜率为， 经过点的切线斜率为，显然切线方程为，故 所以 注：本题用到课外的公式。 13、已知正项数列的前项和为，且 . （1）求的值及数列的通项公式； （2）求证：； （3）是否存在非零整数，使不等式 对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 解：（1）， （2）下列方案均可以放缩成功： 方案1： 方案2： 方案3： 方案4： 任选一种方案保持前面若干项不变放缩即可。 （3）由，不等式等价于. 其中，易知数列单调递增. 当为奇数时，得； 当为偶数时，得，即. 综上，由于是非零整数，故存在满足条件． 14、在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 解： ①上场队员有3名主力，方案有：（）（）=144（种） ②上场队员有4名主力，方案有：（）=45（种） - ③上场队员有5名主力，方案有：（）==2（种） 教练员组队方案共有144＋45＋2=191种． 15、函数与函数互为反函数,且函数与函数也互为反函数,若则_________. 解： 故的反函数为 由 注：注意求抽象函数反函数的公式： 16、数列中, 已知求数列的通项公式. 解：已知 先求出 17、已知集合M={1,2,