补1简单递推数列详解.ppt

新课标高中数学专题复习;第五单元 数列、推理与证明;;1.了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项. 2.掌握简单递推数列的通项公式的求法. 3.熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前n项和.;1.已知数列｛an｝满足a1=1,an-an-1= (n≥2),则an= .;2.已知a1=1,an= ·an+1,则an= .;3.数列{an}中,a1=1，对所有的n≥2都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5= .;4.(2010·长郡中学)已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于( );5.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an= .;常见递推数列的通项公式的求法 (1)若an-an-1=f(n),求an可用① 法. an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2). (2)若 =f(n),求an可用② 法. an= · ·…· ·a1(n≥2). (3)已知a1·a2·…·an=f(n),求an,用③ 法 f(1) (n=1) (n≥2).;(4)若an+1=f(an),求an可用④ 法. (5)若an+1=kan+b,则可化成(an+1+x)=k(an+x),从而{an+x}是⑤ 数列，其中x可以由⑥ 求出. (6)若an=kan-1+bn(k,b为常数)，可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列，再求an. (7)若数列{an}满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用待定系数法求得,从而{an+1-xan}构成⑦ 数列.;(8)若an+1·an+pan+qan+1=0,可化成 1+ + =0,令 =bn，从而上式变成bn+1=k·bn+b型. (9)已知an Sn的递推关系，先化归，再求an或 Sn，化归常用作差法： S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n≥2).;题型一 叠加、叠乘法; (1)由题意，an+1=an+3n2，a1=1， 所以a2=a1+3×12,a3=a2+3×22,a4=a3+3×32,…, an-1=an-2+3(n-2)2,an=an-1+3×(n-1)2， 逐项相加，得 an=a1+3[12+22+…+(n-1)2] =1+3× =1+ .;(2)当n≥2时,有an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1, ① an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan, ② 由②-①,得an+1-an=nan,即an+1=(n+1)an, 所以an= × ×…× × a2 =n(n-1)·…·a2. 由于a2=a1=1，a3=a1+2a2=3， 则当n≥2时,an=n(n-1)(n-2)…a2 =n(n-1)(n-2)×…×3, 1 (n=1) n(n-1)(n-2)×…×3 (n≥2).; 对an+1-an=f(n)型和 =g(n)型可以采用叠加或叠乘，只要叠加或叠乘后右边可以化简即可，同时要注意自变量n的取值范围.;已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2). (1)求a2,a3; (2)证明：an= .; (1)因为a1=1, 所以a2=3+1=4,a3=32+4=13. (2)证明：由已知an-an-1=3n-1(n≥2), 故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+…+3+1=