高等几何学习指导探析.doc

PAGE  PAGE 41 《高等几何》学习指导 第一章 仿射坐标与仿射变换 一、教学目的要求 1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系； 2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法； 3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质； 4、熟练掌握仿射变换的代数表示. 二、教学重点、难点 重点： 透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法. 难点：透视仿射对应的概念、特征及判断. 三、内容小结 本章主要介绍下述内容： 1、共线三点单比（简比）的概念 2、透视仿射对应 1）、概念： ①、同一平面内，直线到直线的透视仿射对应； ②、平面到平面的透视仿射对应. 2）、判断：对应点连线互相平行. 3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系； 2）、共线三点单比的坐标表示： 设； 3）、仿射变换的代数表示：， ； 5、仿射性质 1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比. 3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题 例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C ,求单比（ABC）. 解：设A、B、C的非齐次坐标分别为 由. 例2、平面上是否存在仿射变换，使点A（1，2），B（-2，-4）， C（3，6）分别变为点A/（-1，-1），B/（2，2），C/（0，0）？ 解：由于A，B，C三点共线，A/，B/， C/也共线，下面验证它们的单比是否保持不变， 由于： 因此这样的仿射变换不存在. 例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换. 解：设所求仿射变换为：， 将（0，0）对应（2，3）， （1，1）对应（2，5）， （1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得： ，解此方程组，得 故所求仿射变换为：， 且. 例4、求一仿射变换，它使直线上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）. 解：在直线上任取两点（1，0），（-1，1），由于 （1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的坐标分别代入仿射变换式， 解得：，，即为所求的仿射变换. 例5、求椭圆的面积. 解法1（见教材第15页） 解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为即， 令仿射变换T：，即， 其中， 其对应图形为椭圆： 故T是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S，椭圆的面积为S/ 由定理4.3 所以椭圆的面积为abл. 例6、求将点O（0，0），A（1，0），B（0，1）分别变为O/（1，1），A/（3，1），B/（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积. 解：①、设所求仿射变换为： 将O（0，0）对应O/（1，1）， A（1，0）对应A/（3，1）， B（0，1）对应B/（3，2）分别代人上式 解得且 为所求仿射变换. ②、， 设圆的仿射对应图形面积为， 则. 五、习题 1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-3,2),B(6,1),C,求单比（ABC）. 2、经过点A（-3，2）和B（6，1）的直线AB与直线x+3y-6=0相交于P，求(ABP). 3、求仿射变换的不变点. 4、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形. 5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？ 6、任意两线段之比是仿射不变量吗？ 7、三角形三高线共点是仿射性质吗？三角形三中线共点是仿射性质吗？ 8、若（ACB）＝2，则C是A，B的中点吗？ 9、在仿射变换 下，点O（0，0），A（3，2），的像点为 、 ；B（1，-4）的原像点为 . 10、求将点A（1，0），B（0，-1），C（-1，1）分别变为A/（8，-1），B/（6，-6），C/（1，1）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为3的圆的仿射对应图形的面积. 第二章 射影平面 一、教学目的要求 1、理解中心射影、无穷远元素及射影平面的概念，掌握无穷远元素的性质，了解射影观点与仿射观点的区别； 2、掌握笛沙格定理及其应用，了解笛沙格构图； 3、掌握齐次坐标的定义，熟练掌握点和直线的方程、齐次坐标的求法及其应用； 4、理解对偶元素、对偶运算及对偶命题的概念，掌握对偶原理及写出