《数学模型》第8章.ppt

第八章离散模型8.1层次分析模型8.2循环比赛的名次8.3社会经济系统的冲量过程8.4公平的席位分配8.5存在公正的选举规则吗8.6价格指数离散模型离散模型：代数方程与差分方程（第6章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、…应用较广,是分析社会经济系统的有力工具.只用到代数、集合及(少许)图论的知识.8.1层次分析模型背景日常工作、生活中的决策问题.涉及经济、社会等方面的因素.作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化.Saaty于20世纪70年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层O(选择旅游地)准则层方案层一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示.通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重.将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重.层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果.层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地成对比较的不一致情况允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况A的秩为1，A的唯一非零特征根为nA的任一列向量是对应于n的特征向量A的归一化特征向量可作为权向量一致阵性质成对比较阵和权向量2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…9及其互反数1,1/2,,…,1/9心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优.便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI.定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验!组合权向量同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3)组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T组合权向量第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立.2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵.3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量.4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据.二.层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等.处理问题类型：决策、评价、分析、预测等.建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与.构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出.例1国家实力分析例2工作选择广泛应用（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择广泛应用（2）过河代价层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择广泛应用例4科技成果的综合评价广泛应用三.层次分析法的若干问题正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正