应用多元统计第三章研讨.ppt

从而有 ?3表示式的分子 ?3表示式的分母 所以似然比统计量 或等价于 当样本容量 n 很大时,在 H0 为真时有以下近似分布: 近似为 二、多总体协方差阵的检验 设有 k 个总体 Np ? t ,?t t 1,…,k , t 1,…,k ; a 1,…,nt 为来自第 t 个总体 Np ? t ,?t 的随机样本,记 .检验 def 似然比统计量 ?4 为 上式的分母 上式的分子 则似然比统计量?4为 根据无偏性的要求进行修正,将?4中的 ni 用 ni-1替代, n用 n-k 替代.然后对 ?4 取对数,可得到统计量: 当样本容量 n 很大时,在 H0 为真时 M 有以下近似分布: 其中 例3.4.1 对例3.3.2表3.3中给出的身体指标化验数据,试判断三个组 即三个总体 的协方差阵是否相等？ ? 0.10 解： 这是三个4元正态总体的协方差阵是否相等的检验问题. 设第 i 组为4维总体 N4 ? i ,?i i 1,2,3 .来自三个总体的样本容量 n1＝n2＝n3＝20.检验 在H0成立时,取近似检验统计量为 ? 2 f 统计量: 由样本计算三个总体的样本协方差阵： 进一步计算可得 对给定?＝0.10,利用统计软件,首先计算p值 此时检验统计量 : 因 p＝0.4374 0.10＝? ,故H0相容,这表明三个组的协方差阵之间没有显著的差异. 三、多个正态总体的均值和协方差阵同时检验 设有 k 个总体 Np ? t ,?t t 1,…,k , t 1,…,k ; a 1,…,nt 为来自第 t 个总体 Np ? t ,?t 的随机样本,检验： 记 则检验以上假设 H0 的似然比统计量为 若用 ? 表示当协方差阵均相同时检验 k 个总体均值向量是否相等的似然比统计量,将发现这里的似然比统计量 ?5＝?·?4 .在实际应用中我们采用类似的修正方法,在?5中用 nt-1 替代 nt ,用 n-k 替代n .修正后的统计量记为?5*： 当样本容量 n 很大时,在H0为真时 ?5* 有以下近似分布： 其中 例3.4.2 对例3.3.2表3.3中给出的身体指标化验数据,试判断三个组 即三个总体 的均值向量和协方差阵是否全都相等？ ? 0.05 解： 这是三个4元正态总体的均值向量和协方差阵是否同时相等的检验问题.取近似检验统计量为近似 ? 2 统计量： 由样本值计算这三个总体的样本协方差阵 见例3.4.1 ,以及所有样本的总离差阵 T 见例3.2.2 .进一步计算可得： 对给定?＝0.05,利用统计软件,首先计算p值 此时检验统计量 : 因 p＝0.03373 0.05＝? ,故否定H0,这表明三个组的均值向量和协方差阵之间有显著的差异.在这种情况下,可能犯第一类错误,且犯第一类错误的概率为0.05. §3.5 独立性检验 设总体 X～Np ? ,? ,将X剖分为k个子向量,而 ? 和? 也相应剖分为 其中p p1＋…＋pk ,且知 pt 维子向量 X t ～Npt ? t ,?tt t 1,…,k . 在第二章中,我们已经介绍过若X 1 ,…,X k 相互独立 ? ?ij O 对一切i?j .因此检验X 1 ,…,X k 是否相互独立的问题等价于检验对任意两个子向量,协方差阵 ?ij 是否等于O 对一切 i?j . 在正态总体下,独立性检验可化为检验： 设X a a 1,…,n ; n p 为来自总体X的随机样本,将X a ,样本均值向量X和样本离差阵 相应的剖分为 应用似然比原理,在 H0 成立时, i 1,…,k ; a 1,…,n ,且相互独立,故样本的似然函数为 当 时, Li ? i ,?ii 达最大.所以似然比统计量表示式的分子为 似然比统计量为 def 博克斯 Box 证明了,在 H0 成立下当 n→∞时， 其中 例3.5.1 试检验例3.2.1女性汗液数据中随机向量 X 的三个分量是否相互独立 ? 0.05 ? 解：记随机向量 X X1,X2,X3 ,假定X～N3 ? ,? ,且记? ?ij 3×3. 检验 取检验统计量为 当 X 的三个分量相互独立,且样本容量 n 很大时,ξ近似于? 2 f . 由表3.1的样本值计算样本离差阵 A ,可得： 此例中n 20 , p 3 , p1 p2 p3 1 , k 3.进一步计算可得： 对给定显著性?＝0.05,用统计软件计算时,通过计算 p 值进行检验. 因 p＝0.02076 0.05＝? ,故否定H0,即随机向量的三个分量不相互独立.在这种情况下,可能犯第一类错误,且犯第一类错误的概率为0.05. * * 由于置信概率由 T 2 分布确定,因此