第一篇数值逼近课程.ppt

源由：1，实际问题中的函数关系.仅通过实验与 观测得到某一定区间上的离散点的值,而没 有明确表达式，希望用简单表达式 给出整 体描述。 实现插值与拟合逼近的一般步骤 2. 建立逼近目标，确定模型参数。 根据逼近的意义规定出?必须满足的确切条件,从而去 确定?中待定参数集 Ci 即： 抽象出插值问题 与拟合问题的各种数学表达。 第一章 插值法与数值微分 构造一个多项式?n ? 满足 插值条件 : 1. ?n ? 是多项式且次数不大于n; 2. ?n ?i f ?i yi ，i 0，1，…，n ?i称插值节点,?n ? 称插值多项式。 多项式插值问题解的存在唯一性 则 ai 满足线性方程组 插值条件2 §1.Lagrange插值多项式 只要存在并找到 n+1 个基函数 lk ? ,使满足 3 , 则 2 的 ?n ? 就是一般插值问题的解,且称Lagrange插值多项式 n 次 Lagrange 插值多项式表达式 例1.线性Lagrange插值 直线近似代替曲线 例2.二次插值或抛物插值 二次曲线近似代替曲线 §2. n次插值多项式的余项. 插值误差的“事后估计” 利用两个插值多项式之差来估计逼近误差. §3. 差商—作为微商的近似。 在n+1个节点处各阶差商的计算方法 Newton插值多项式 Lagrange插值多项式缺点，增加节点，所有基函数重算，不便计算．　改进：增加一个节点时只需增加一个基函数？?递推方式定义： §4. 分段线性插值 Runge现象：插值节点加密、插值多项式次数增高、增强振荡，整体逼近差。 分段线性插值问题的基函数 分段线性插值函数的余项 小节 坐标系→基函数：方法与思想 §5. Hermite插值 逼近好又光滑，三次Hermite插值问题： 三次Hermite插值基函数 三次 Hermite 多项式及余额 n+1个节点的Hermite多项式 基函数与Hermite多项式存在唯一 Hermite插值多项式余项 Hermite插值：满足函数值与导数值的要求，但次数太高Runge现象严重！ §6. 分段三次Hermite插值 插值基函数hi ? 的显式与几何图象 插值基函数 Hi ? 的显式与几何图象 分段三次 Hermite 插值多项式及余项 §7. 样条插值函数 构造含待定参数的分段三次Hermite插值多项式 样条插值的边界条件 自然边界条件的线性方程组 解 mi 的具体方法 计算三次样条算法 三次样条的收敛性 自然边界条件的线性方程组 §.8 数值微分 三点式 第二章. 数据拟合法 两种逼近概念: 插值: 在节点处函数值相同. 拟合: 在数据点处误差平方和最小. 求解a，ｂ的正规方程组 §2. 多变量数据拟合 最小二乘法 简化计算符号 正规方程组 §3. 非线性曲线的数据拟合. §4. 一般的数据拟合法 正规方程组 正交多项式族 Legendre多项式 例. 化学反应时间与生成物浓度 第四章. 快速 Fourier 变换 （1.2）是无穷多个不同频率 w 的复振动[F w dw]e2πiwt 的迭加,积分 F w 称为谱密度函数,f t 称谱表示. 离散Fourier变换DFT 1 DFT 2 DFT 3 三角函数插值（1） 导出 DFT 公式 §2. 单变元FFT算法 DFT的矩阵表示 DFT就是对数据向量乘 2.2 的矩阵 矩阵分解分析 1 以上通过矩阵分解，实现的算法称 FFT， N 4 时计算乘法次数从 N2 16 降为 1。 矩阵分解分析 3.6 FFT一般计算公式 FFT乘法计算量 数学方法及其作用 数值实验2 4月30日交 第五章. 数值积分 §1. 插值型求积公式 二 抛物型求积公式 三.1 Newton-Cotes求积公式 §2. 梯形,抛物线公式的误差估计 n 偶数时Newton-Cotes 求积公式的代数精确度 梯形公式的截断误差 §3. 复化公式及其误差估计 误差公式: 区间越小, 误差更小——复化。 [a, b]2n 等分, 可得 T2n : 复化抛物型公式 ∵ 抛物线公式用到区间中点， ∴ 将区间看作等分偶数份 令 n 2m, m 是整数, 在每个 [?2k-2, ?2K] 上 用抛物线公式： 自动选步长计算 误差要求可定出n ，但事先难估计：事后估计，边算边估计进而加密， 自动分半的 Simpsen 公式 §4. Richardson 外推算法 抽象理论 1 §5. Romberg求积法 ai 的系数行列式是 n+1阶的Vandermonde行列式 复化梯形公式的分半加密法算。 复化公式误差 复化求积例 只要利用公式不断计算新分点之函数值， S1， S2