第三章晶格振动与晶体热力学性质--热容概述.pptVIP

可得 式中积分限 在高温极限下: 是小量。 因此，比热的积分函数 所以，高温比热 即高温极限下，比热近似等于常数3NkB ，与爱因斯坦模型的结果一致，也与杜隆－帕替定律相符。 低温时: 则（27）式积分上限 可近似看作 无穷大，将被积函数按二项式定理展成级数 因此 　　 　　德拜理论与很多实验事实符合。而且温度越低，近似越好。 　　在低温下容易被激发的是长声学波振动，由于波长较长，晶体可看成连续介质，因而性质很象弹性波，这就是德拜近似取得成功的原因。 这就是著名的德拜 低温比热定律。 所以 例1、一维单原子布喇菲格子晶格振动的频率ω 和波矢q的关系为 其中m是原子质量，a是原子间距，β 是原子间相互作用的力常数。 1、按照ω 和q和关系，求出晶格比热的表达式； 2、给出高温、低温极限时比热随温度的变化关系。 或者：3、按照德拜模型求出晶格比热的表达式； 4、给出高温、低温极限时比热随温度的变化关系。 先计算单位频率间隔的振动模式数（模式密度），即角频率的分布函数 (1)：晶格振动的平均能为 一维简单格子的色散关系dω区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2π/a区间对应N=L/a个振动模式， 单位波矢区间对应有L/ 2π个振动模式。dω范围包含的模式数为 因此模式密度为 由色散关系式得 按色散关系 可算出 而频率为ω 的谐振子的平均声子数目　 所以 （2）高温极限 为常数值。 低温极限 令 即C正比于温度T。 利用公式 （3）：按德拜模型计算，弹性波处理 由于 得 代入能量公式，所以 （4）高温极限 低温极限 令 非线性简谐 §3.10 晶格的状态方程和热膨胀 晶体自由能函数 根据 —— 得到晶格的状态方程 自由能函数 配分函数 —— 能级包含平衡时晶格能量和各格波的振动能 —— 对所有晶格的能级相加 配分函数 自由能函数 —— 晶体体积V改变时，格波的频率也要变化 因此 格临爱森近似计算 对所有的振动相同 — 格临爱森常数 晶格的平均振动能 晶体的状态方程 晶体的热膨胀 晶体在p=0下，体积随温度的变化 —— 原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰勒级数展开 压强 第一项 —— 静止晶格的体变模量 —— 热膨胀系数 —— 格临爱森定律 —— 保留至第二项 了解晶格振动模式密度的意义不仅局限于晶格比热的量子理论； 　　计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。 　　在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。 如图所示，等频率面间的体积可表示成对两等频面间的体积的积分 比热是描述热性质的最好的物理量。 固体中的晶格振动的基本单元是谐振子，单个谐振子的能量表达式中有动能和势能两项。 汪志诚书：P228 晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动，这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的，但可以根据其位置而加以区分，在这个意义下可以将定囏粒子看作可以分辨的粒子。因此由定域粒子组成的系统（称为定域系统）遵从玻尔兹曼分布。 在满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻耳兹曼分布。 经典极限条件：在粒子的每个量子态上平均粒子数远小于1，即绝大多数量子态上没有粒子占据，因此泡利原理的限制不起作用，故玻色分布与费米分布在非简并条件下趋于相同的形式。 参考南大教材P93页 汪志诚书：P228 晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动，这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的，但可以根据其位置而加以区分，在这个意义下可以将定囏粒子看作可以分辨的粒子。因此由定域粒子组成的系统（称为定域系统）遵从玻尔兹曼分布。 　　这也就是后来在1924年才正式确立的玻色-爱因斯坦统计分布公式，可见振子（即声子的原始概念）是玻色子。 　　振子的玻色-爱因斯坦统计分布代表谐振子在温度T下的平均激发能级。 当时还没有仔细研究晶格动力学，主要原因是爱因斯坦做的每个原子的振动频率都一样这个假设是有缺陷的。它忽视了各格波对比热贡献的差异。 即在计算时可以把频谱视作是连续的。 　德拜对爱因斯坦模型的主要修正是考虑了晶格动力学研究中得出的晶格振动波的色散关系； 　　德拜德看到固体中的谐振子振动频率不是一样的，随着波数k的变化振动频率可以在零到红外的范围内有很大的改变。 P164上海翻译出版公司《研究生入学考试物理试》 第三章 晶格振动与晶体热力学性质 3、晶格振动模式密度 晶格振动模式密度函数的定义 表示在 间隔内晶格振动模式的数目。 constant 确定了一个等频率面，那么在等频 在q空间 可计算如下： 率面 和 之间的振动模式数目为 首先计算N个波矢代表点在q空间的分布密度 　　晶格振动模（格波）在q空间分布是均匀的： N很