第七章玻耳兹曼统计201110概述.pptVIP

* §7.1 热力学量的统计表达式 §7.2 理想气体的物态方程 §7.3 麦克斯韦速度分布律（不要求） §7.4 能量均分定理 §7.5 固体热容量的爱因斯坦理论 第七章 玻耳兹曼统计 定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值： 一、 定域系统的内能、广义力或物态方程统计表达式 意义： 定义：粒子配分函数Z1： 所以，粒子配分函数反映了粒子在各能级上的分布规律（分布几率） 相体积元 当 配分函数变为积分： §7.1 热力学量的统计表达式 一个粒子分布在能级el的概率 1、内能的统计表达式： 2、广义力或物态方程统计表达式： 由于外参量的改变，外界施于处于能级εl的一个粒子的力为： 因此，外界对系统的广义作用力Y为： 热力学第一定律： 对于准静态过程： Y是与外参量y相应的外界对系统的广义作用力。 原子光谱随原子所处的外部环境的变化而变化现象，证明了广义力统计意义的正确性。 特例： 在无穷小的准静态过程中，外界对系统所作的功是： 第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化，代表准静态过程中外界对系统所作的功。 第二项是由于粒子分布改变所引起的内能变化，代表准静态过程中系统从外界所吸收的热量。 二、热力学第一定律的统计解释： 三、熵 与 比较可令： 1、熵的统计表达式： 所以熵： 熵的统计意义：某个宏观态的熵等于玻耳兹曼常量k乘以相应的微观状态数的对数，表明某个宏观态对应的微观状态数愈多，它的混乱度就愈大，熵也愈大------熵是混乱度的量度。 称为玻耳兹曼关系 2、熵的玻耳兹曼关系 讨论：选择不同数值的 对经典统计结果的影响。 由于内能和物态方程的统计表达式中须对配分函数取对数后再求导，因此结果与h0的选择无关。但熵和自由能无求导运算，结果应含有常数h0，如果选取不同的h0，数值将相差一个常数。这说明绝对熵的概念是量子力学的结果。 玻耳兹曼分布的经典表达式为： 与h0的选择无关 四、自由能 （1）写出 及相应简并度 （2）求粒子的配分函数 量子效应显著时 量子效应不显著时（半经典方法） ①量子力学的理论计算获得 ②分析光谱数据获得 （3）代入热力学统计公式求热力学量 小结Ⅰ :求玻耳兹曼量子体系热力学函数的一般步骤： 物态方程 内能 例题：定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个e1和e2非简并能级，求温度为T的热平衡态下系统的内能和熵，在高、低温极限下将结果化简，并加解释。 解：粒子的配分函数为 系统的内能和熵分别为 讨论： ⑴当温度T较低时， 即当 时所有粒子均处于基态，体系的微观状态只有一个，高度有序，熵最小。 ⑵当温度较高时， 表示粒子处于e1和e2是等概率的 与玻耳兹曼关系比较，可知此时系统可能的微观态的总数为 正是两粒子（可分辨）等概率地占据两个量子态的组合数。 小结Ⅱ 求玻耳兹曼经典系热力学函数的一般步骤： （1）写出 单粒子的能量表达式 （2）求粒子的配分函数 （3）代入热力学统计公式求热力学量 与h0的选择无关 与h0的选择有关 § 7.2 理想气体的物态方程 一、用玻耳兹曼分布推导理想气体的物态方程 将理想气体看作满足经典极限条件的粒子，用玻耳兹曼分布导出单原子理想气体的物态方程。 配分函数： 根据广义力的表达式，导出理想气体的物态方程： 与热力学中根据实验定律推导出的理想气体物态方程： 比较可得玻耳兹曼常量的数值： ②、双原子分子组成的理想气体，单个粒子的能量表达式中增加了转动和振动的能量。由于计及转动、振动能量后不改变配分函数Z1对V的依赖关系，因此物态方程仍为上式。 ①、单原子分子理想气体内能： 讨论： 二、经典极限条件 经典极限条件要求： 要求： （1）N/V愈小，即气体愈非常稀薄； 经典极限条件也可等价地表述为： 分子的德布罗意波长： 可得： （3）分子质量很大 （2）温度很高， 一、推导麦克斯韦速度分布律 设气体有N个分子，体积为V，分子质心的平动动能： 在体积V内， 的动量范围内，分子质心平动的状态数： 根据玻耳兹曼分布： 对经典粒子，物理量是连续的，可以去掉下标，因此： § 7.3 麦克斯韦速度分布律（不要求） 范围内的分子数占总分子数的百分比 ，称为麦克斯韦速度分布： --------平衡态理想气体中分子按速度分布的概率密度函数，叫做麦克斯韦气体分子速度分布律 二、麦克斯韦速率分布函数： 在速度空间的球坐标中，麦克斯韦速度分布律为： f(v)表示速率在v附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。是平衡态理