第七章-7.1基本概念概述.ppt

* * 满足如下三种性质的定解问题称为适定问题： （1）解的存在性； （2）解的惟一性； （3）解的稳定性。 * * 第七章 偏微分方程 （Partial Diffierential Equation） 偏微分方程以物理学，力学以及工程技术等领域的具体问题为研究对象，并且在天文物理等领域的发展过程中起到了非常重要的推动作用。 1746年，达朗贝尔对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 * * 参考文献： [1].管志成,李俊杰常. 微分方程与偏微分方程.杭州：浙江大学出版社，2001 [2].汤燕,吴娥子.应用偏微分方程.北京:科学出版社.2010 [3].查中伟.数学物理偏微分方程.成都:西南交通大学出版 社,2004 * * 第一节 基本概念 偏微分方程：含有自变量，未知函数（多元函数）及其偏导数的方程。 偏微分方程的阶：未知函数的最高阶偏导数的阶数。 偏微分方程的一般形式： 一、偏微分方程的基本概念 * * 线性偏微分方程：未知函数及其各阶偏导数的次数都是一次的，且其系数仅依赖于自变量。 拟线性偏微分方程：未知函数及其各阶偏导数的次数都是一次的，且其系数不仅依赖于自变量，还与未知函数有关。 例如，一阶齐次线性偏微分方程的一般形式： 形如 的方程，称为一阶线性拟微分方程。 * * 例1：判断下列偏微分方程的阶数，线性性和齐次或非齐次 * * 若将它及其各阶偏导数带入方程 偏微分方程的解： 存在函数 使其在给定区域 内成立，则称函数 为方程的一个解。 通解和特解 含有n个相互独立的任意函数的解，称为n阶偏微分方程的通解。 确定了通解中任意常数以后的解称为特解。 * * 例2 ： 二阶线性非齐次偏微分方程 的通解为 其中 是两个独立的任意函数．因为方程为 二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数 指定为 特殊的 ，则得到的解 * * 称为方程的特解． n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数． 练习： * * 二、三大类常见的数学物理方程 热传导方程、波动方程和位势（泊松）方程是三类典型的数学物理方程。它们均是二阶线性偏微分方程。 什么是数学物理方程？ 物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分 方程，它们反映了 支配各种自然现象的基本规律。 连续介质力学、电磁学、传热 学、量子力学、化学反应动力学等方面的基本方程都是数学物 理方程的范畴。 * * （1）热传导方程（扩散方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。 u =u(t, x, y, z) 表示温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 * * （2）波动方程（弦振动方程） * * (1),(2)两类方程都是随时间发展的过程，所以有时也被称作发展方程。 如果运动过程进入稳定状态，即表征运动过程的量 不再随时间而改变，那么就有 ，于是得到方程（3），我们称之为泊松（Poisson）方程 。 * * （3）泊松方程（稳定场方程，位势方程） 描述稳状物理现象，如静电场，定常流场，稳定温度场的分布等。 * * 三、定解问题 刻画一个具体的对象，除了建立方程外，还需要一定的补充条件，这些补充条件称为定解条件。 联系着一定的定解条件来研究一个方程的，通常叫做定解问题。 常见的定解条件有两大类： （1）初始条件：用以说明初始时刻状态的条件。 （2）边界条件：用来说明区域边界上约束情况的条件。 * * 初始条件和边界值条件： 1、一维问题 例如：热传导方程 （1）初始条件： （2）边界（或边值）条件：通常有下列三种类型（以 为例） （a）第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：已知细杆端点的温度随时间变化的函数 （b）第二类边界条件（Neumann条件）：已知细杆端点与外界热量交换强度 * * （c）第三类边界条件（混合边界条件）：细杆端点的热流强度与温差成正比 已知外界环境温度为m(t).则根据热力学定律 整理得 * * * * * * 例如：考虑如下弦振动方程 初值条件有两个： 边界条件：类似于热传导方程（三类中任意一个或组合形式） * * * * * * * * 弦振动方程的柯西（Cauchy）问题(或称“初值问题”) * * 2.二维以上问题 * * * * * * * * * * * * 以n维位势方程（Poisson方程）为例： * *