第二章随机变量及其分布概述.docx

第二章 随机变量及其分布 1.1一维随机变量 1.1.1一维随机变量的相关定义 (1)在随机试验中，对于试验的某些性质，每个试验结果(基本事件)需要用一个实数来表示，显然这些实数是随着试验结果而变化的，我们把这个变量称为一维随机变量,记为. 例如：随机试验：将一枚硬币抛掷两次，观察正反面出现的情况.试验结果有：四种,其中表示正面，表示反面.显然对于出现正面次数这类性质，每个试验结果对应的实数有：. (2)用以表述 HYPERLINK /sowiki/%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E5%8F%98%E9%87%8F?prd=content_doc_search \o 随机变量 随机变量取值的概率规律称为概率分布. 注：根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式.离散型随机变量以表格为概率分布的最好表现形式；连续型随机变量以概率密度函数为概率分布的表现形式. 1.2.1一维离散型随机变量及其分布 (1)一维离散型随机变量及其分布律的定义 ①如果一维随机变量只可能取有限个或无穷可列个值，则称为一维离散型随机变量. ②设一维离散型随机变量所有可能取的值为()，取各个可能值的概率称为的分布律.其表格形式如下表： …………(2)一维离散型随机变量及其分布律的性质 ①，；②. (3)泊松分布 一维离散型随机变量及其分布有很多，比如：0-1分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松分布等，但泊松分布应该是最引人注目的分布之一. ①泊松分布的定义 如果随机变量得概率分布为,，则称服从参数为()的泊松分布，简记作. ②泊松分布的推导 泊松分布多出现在当表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合.“在一定时间内某交通路口所发生的事故个数”是一个典型的例子. 泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释. 为方便记，设所观察的这段时间为,取一个很大的自然数，把时间段分为等长的段：. 我们做如下两个假定： (a)在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为； (b)各段是否发生事故是独立的. 把在时段内发生的事故数视作在个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，应服从二项分布.于是有: ， 当取极限时，又有： ，， 因此. 由推导得出：当二项分布()中的很大又很小且适中时，泊松分布的概率可近似二项分布的概率.实际表明，在一般情况下，当时，这种近似是很好的，甚至不必很大都可以.比如：当，时，这种近似程度已经很好了，数据如下表. 00.98010.980210.01980.19620.00010.00021.2.2一维连续型随机变量及其分布 (1)一维随机变量的分布函数 虽然分布函数在离散型随机变量中也可以使用，但离散型随机变量用表格来表达要比分布函数更加直观.分布函数的真正的作用其实是在连续型随机变量中. 注：二维随机变量类似. ①一维随机变量的分布函数的概念 设是一维随机变量，对任意实数，记，称为随机变量的分布函数，又称随机变量服从分布.随机变量的分布函数就是在区间内取值这一件事(即事件)的概率. 对于任意实数，()，有： ， 因此，若已知的分布函数，我们就知道落在任一区间上的概率，从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量得统计规律性. ②一维随机变量的分布函数的性质 (a)是一个单调不减函数； (b)，且，； (c),即是右连续的. (2)一维连续型随机变量 ①一维连续型随机变量的相关概念 设一维随机变量的分布函数为，如果存在非负可积函数，使得对于任意实数，均有，则称为一维连续型随机变量，函数称为的概率密度函数，简称概率密度. ②一维连续型随机变量的概率密度的性质 (a)；(b). 【例2.1】已知连续型随机变量的概率密度 (Ⅰ)求分布函数； (Ⅱ)若令，求的分布函数. 解：(Ⅰ)当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 即有 (Ⅱ)令，由于及为的单调不减连续函数， 当时，； 当时，； 由因为，所以区间应划分为和两个区间进行计算, 当时， 当时， 综上得 (3)指数分布和正态分布 指数分布和正态分布是一维连续型随机变量的两个十分重要的分布.指数分布可以用来表示独立 HYPERLINK /view/704228.htm \t /_blank 随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔等等；自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等. ①指数分布 (a)指数分布的定义 若随机变量的概率密度为则称为服从参数为()的指数分布，记为. 的分布函数为 (b)指数分布的“无记忆性” 对于任意，有：. 如果是某一元件的寿命，那么上式表明：无论元件已经使用多长时间，只要还没有损坏，它能再使用