第三章(几何变换之一)概述.ppt

计算机图形学基础Computer Graphics 赵东保 图形变换是指将一个几何图形按照某种准则变换成另一个几何图形，例如，将图形进行缩放、旋转、平移等；将三维图形投影变换到二维平面上，将静态图形变换为动态图形，实现动画效果等等，这些过程都称之为图形变换。 二维图形几何变换的原理 二维图形由点或直线段组成 直线段可由其端点坐标定义 二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换 2.比例变换（scale） 平行于x轴的方向上的缩放量 平行于y轴的方向上的缩放量 指相对于原点的比例变换 当 时，变换前的图形与变换后的图形相似 当 时，图形将放大，并远离坐标原点 当 时，图形将缩小，并靠近坐标原点 当 时，图形将发生畸变 比例变换的性质 3.旋转变换（rotation） 点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向） 1）齐次坐标技术的引入 平移、比例和旋转等变换的组合变换 处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 4）齐次坐标表示 齐次坐标表示不是唯一的 5）基本几何变换的齐次坐标表示 平移变换 1.对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） （1）相对于y轴对称 （2）相对于x轴对称 （3）相对于原点对称（即中心对称） （4）相对于直线y=x对称 （5）相对于直线y=-x对称 2.错切变换（shear） （1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线，而保持y坐标不变。 （2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切 将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的 倾斜线，而保持x坐标不变。 1）相对于任意点（x0 , y0）的比例变换 对任意点比例变换的步骤： （1）平移变换 （2）相对于原点的比例变换 （3）平移变换 当（x0 , y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。 令 窗口视图变换 1.窗口和视图区 用户坐标系（world coordinate system，简称WC） 设备坐标系（device coordinate system，简称DC） 窗口区（window） 视图区（viewport） 三维变换的一般形式 三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增加对z坐标的考虑而得到，其基本变换也为平移、比例、旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4阶矩阵。 1 三维图形几何变换 平移变换 已知空间一点的坐标是P(x,y,z），沿X、Y及Z轴方向分别平移tx 、ty、tz，后，得新坐标P(x′,y′,z′）的表示式为： 矩阵形式为： 比例变换 相对于原点的比例变换的表示式为： 矩阵表示是： 矩阵表示为： （1） 绕Z轴旋转变换 三维图形绕Z轴旋转时，图形上各顶点z坐标不变，x、y坐标的变化相当于在XY二维平面内绕原点旋转。所以绕Z轴旋转变换的表达式为： 旋转变换 （2） 绕X轴旋转变换 三维图形绕X轴旋转时，图形上各顶点x坐标不变，y、z坐标的变化相当于在YZ二维平面内绕原点旋转。所以绕X轴旋转变换的表达式为： 矩阵表示为： （3） 绕Y轴旋转变换 三维图形绕Y轴旋转时，图形上各顶点y坐标不变，x、z坐标的变化相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。所以绕Y轴旋转变换的表达式为： 矩阵表示为： 绕任意轴旋转变换 已知空间一点的坐标是P(x,y,z),设给定的旋转轴为I，它对三个坐标轴的方向余弦分别为： 绕该轴进行旋转变换其旋转矩阵的获取方法为：通过平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴完成指定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。 设旋转角为θ，轴上任一点P(xc,yc,zc)为旋转的中心点。则复合变换的过程为： (1) 将P(xc,yc,zc)平移到坐标原点；变换矩阵为： (2) 将I轴绕Y轴旋转?y角，同YZ平面重合，其变换矩阵为： (3) 将I轴绕X轴旋转?x角，同Y轴重合，其变换矩阵为： (4) 将P(x,y,z）点绕Y轴旋转θ角，其变换矩阵为： （5）绕X轴旋转-?x角，其变换矩阵为： （6）绕Y轴旋转-?y角，其变换矩阵为： （7）将P(xc,yc,zc)平移回原位置，其变换矩阵为： 复合变换矩阵为：T﹦T1T2T3T4T5T6T7 （8）中间变量的计算方法 变换过程式中，sinθx、sinθy、cosθx、cosθy为中间变量，应