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《自动控制原理》 —— 第八章(第3节) 洛阳理工学院 电气工程与自动化系 Ldyichm@163.com邮箱 相平面法是庞加莱(Poincare)1885年首先提出的,本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面,方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。 这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统,并形成了一种特定的相平面法,它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象,起到了直观形象的作用。 (2)图解法 绘制相轨迹图有多种办法,概括起来有如下几类: 第一类:手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的‘素描’,它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而‘随手’画出的草图,它虽然在具体细节上缺乏精度,但却能提供许多重要的定性结论。 第二类:手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代,人们研究出好几种手工近似作图法,如等倾线法、δ法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的,如今已没有多大实用价值。 第三类:计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。 等倾线法续1 等倾线法续2 等倾线法续3 等倾线法续4 描述线性二阶系统的自由运动的微分方程为 描述线性二阶系统的自由运动的微分方程为 描述线性二阶系统的自由运动的微分方程为 描述线性二阶系统的自由运动的微分方程为 描述线性二阶系统的自由运动的微分方程为 根与相轨迹 作业: 8-2 8-5 8-22 j 0 j 0 j 0 节点 稳定焦点 中心 不稳定节点 不稳定焦点 鞍点 λ1 j 0 λ2 j 0 λ2 λ1 j 0 λ1 λ2 线性二阶微分方程为非线性二阶系统的特殊情况。特征根在s平面的分布,决定了系统自由运动的形式,因而可由此划分线性二阶系统极点(0,0)的类型: 1)焦点:特征根具有一对共轭负实部根,稳定的焦点 特征根具有一对共轭正实部根,不稳定的焦点。 2)节点:特征根为两个负实根,稳定节点 特征根为两个正实根,不稳定的节点。 3)鞍点。特征根一个为负实根,一个为正实数根 对于非线性系统各个平衡点,可以通过平衡点处的线性化方程,基于特征根的分布确定系统奇点的类型,进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。 根据特征方程的根性质分析奇点类型。 4.奇点与极限环singular point and limit loop 另一反映系统的运动特征的相轨迹是极限环。 它是相平面上一条孤立的封闭的相轨迹,它将无穷大的相平面分成两个部分。反映系统的自激振荡状态。 由于系统的平衡点有无穷条相轨迹离开或到达,因此,平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特征。将平衡点又称为极点。 4奇点与极限环singular point and limit loop (1) 奇点singular point 联立求解得到x(位置)和 (速度) 即: 相轨迹上每一点切线的斜率为 0比0 不定型式 系统的速度和加速度同时为零,系统不再发生运动,处于平衡状态,故相平面的奇点也称为平衡点 若 解析,设 为非线性系统的某个奇点,则可将 在奇点 处展开成泰勒级数,在奇点的小领域内略去 和 高次项,即取一次近似,则得到奇点附近关于x增量?x的线性二阶微分方程 系统的特征方程为 根据特征方程的根性质分析奇点类型。 记为 例8-2:已知非线性系统的微分方程(参见课本402 计算奇点(0,0)处的一阶偏导数及增量线性化方程 解 试求系统的奇点,并绘制系统的相平面图。 系统的相轨迹微分方程为 令 则求得系统的两个奇点 系统的特征方程为 系统的特征根为 奇点(0,0)为稳定的焦点 计算奇点(-2,0)处的一阶偏导数及增量线性化方程 系统的特征方程为 系统的特征根为 奇点(-2,0)为鞍点。 最后根据奇点的位置和奇点的类型,结合线性系统奇点类型与系统运动形式的对应关系,绘制本系统在各各奇点附近的相轨迹,再使用等倾线法绘制出其他区域的相轨迹,获得系统相平面图。见P403图8-27 (2)极限环limit loop 奇点类型只决定奇点附近相轨迹的运动形式。当非线性系统存在多个奇点时,整个系统的相轨迹,特别是距离奇点较远的部分,还取决与奇点的共同作用,有时还会产生特殊的相轨迹,将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种相轨迹称为极限环。极限环将相平面划分称
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