【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题5第23练常考的递推公式问题的破解方略理教程.doc

第23练　常考的递推公式问题的破解方略 [题型分析·高考展望]　利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键：一般这类题目难度较大，但只要将已知条件，转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决. 常考题型精析 题型一　利用累加法解决递推问题 例1　(1)(2015·江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________. (2)数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn (n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列. ①求c的值； ②求数列{an}的通项公式. 　 　 　 　 　 　 　 　 点评　由已知递推关系式若能转化为an＋1＝an＋f(n)，或－＝f(n)且f(n)的和可求，则可采用累加法. 变式训练1　已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n1 (n≥3)，试求数列{an}的通项公式. 　 　 　 　 　 　 题型二　利用累乘法解决递推问题 例2　(1)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(　　) A.an＝ B.an＝ C.an＝ D.an＝n (2)已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N且n≥2)，则数列{an}的通项公式是____________. 点评　若由已知递推关系能转化成＝f(n)的形式，且f(n)的前n项积能求，则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式. 变式训练2　数列{an}的前n项和Sn＝an (n≥2)，且a1＝1，a2＝2，则{an}的通项公式an＝______________. 题型三　构造法求通项公式 例3　(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an； (2)已知a1＝1，an＋1＝，求an. 　 　 　 　 　 　 　 点评　构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“an＝can－1＋b”的条件下，可构造“an＋x＝ c(an－1＋x)”在“an＝”的条件下，可构造“＝＋”. 变式训练3　已知数列{an}中，a1＝2，当n≥2时，an＝，求数列{an}的通项公式. 　 　 　 　 高考题型精练 1.在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　) A. B. C. D. 2.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜.用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10为(　　) A.350 B.300 C.400 D.450 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于(　　) A.2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 4.已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2 016等于(　　) A.2 015 B.2 009 C.1 005 D.1 006 5.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an1＋2n (n≥2)，则a7等于(　　) A.53 B.54 C.55 D.109 6.数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋a1＋n，则＋＋…＋等于(　) A. B. C. D. 7.(2014·课标全国Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________. 8.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________. 9.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2 016(4)＝________. 10.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________. 11.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________. 12.(2015·陕西)设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x