定积分2.ppt

§ 7. 6 定义 7.6.3： 其中c为x轴上任意一点，通常取c = 0。 称极限 为 f 在(-?,+??上的无穷限积 分，记为 ，即 当两个极限 和 都存在，称无穷限广 义积分 收敛，否则，称无穷限广义积分 发散。 在几何上，当f (x) ? 0， 表示一个向左右两个方向无限延伸的曲边梯形的面积。见图7.6-4。 图7.6-4 § 7. 6 7.6.2 无穷限广义积分的计算 若f (x)连续，F(x)为f (x)的一个原函数，则 其中 是极限 的缩记。 因此，对广义积分，也有牛顿—莱布尼兹公式： § 7. 6 注意，使用上述三个公式的条件是：f (x)连续。 求原函数F(x)的过程，与常义积分的完全一样，因此，求不定积分的所有方法和技巧，在这里都适用。 不过一定要记住,F(+?)是极限 ,F(-?)是极限 。 例7.6.1．计算 解： 这个例子说明可以使用换元积分法。 解： 例7.6.2．计算 这个例子说明，可以使用分部积分法。 § 7. 6 7.6.3 ?函数的概念 由一个含参变量的积分，定义一个以参变量为变量的函数。 例如， (含参变量t，积分时看作常数) (积分结果是t的函数) 即见积分 定义一个t的函数。 再例如， (含参变量t，积分时看作常数) (积分结果是t的函数) 即见广义积分 定义一个t的函数。 § 7. 6 定义 7.6.4： 由含参变量t的广义积分 定义的函数，称为“伽马函数”，记为?(t)，即 请记住这一定义式： x的指数为t -1，有一个因子e-x，积分限为0，+?。 § 7. 6 7.6.4 ?函数的性质 ?函数的一个重要性质，就是它的递推性： ?(t +1) = t ? ?(t) 证明：由分部积分法，有 (对e-x 积分，对xt 微分) 注意,当x?+?时,极限 (由罗必塔法则); 当x = 0时， ，所以上式第一项为0。 所以 这就证明了 ?(t +1) = t ? ?(t)。 § 7. 6 7.6.5 ?函数在整数点处的函数值 由 即 ?(1) =1 由递推性，再记住?(1) =1，有 请记住 ?(1) = 1， ?(n +1) = n ! 由此我们就可以计算?函数在所有整数点处的函数值。 § 7. 6 解： 注意，? 被看作常数。 例7.6.3．计算 例7.6.4．计算 解： § 7. 7 7.7 定积分应用 定积分 可以看作是许多微小部分f (x)dx的累积，这样，利用定积分求解问题，就包括两个过程： ①．先考虑所求量在x处长为dx的区间[x,x+dx]上的微小部分(见图7.7-1)，在[x,x+dx]上以不变的f代替变化的 f ，即以x处的函数值f (x)，作为整个区间[x,x+dx]上的函数值，写出微小部分的表达式f (x) dx。 这里你不必担心这种近似代替所产生的误差，因为在无限细分的过程中这种误差会消失。 § 7. 7 ②．将这些微小部分累积起来，即计算积分 这样一种分析计算过程，人们通常称为微元分析法。 图7.7-1 § 7. 7 7.7.1 平面图形的积分 例如，求由y = f (x)，y = g(x)，( f (x) ? g(x) )，x = a，x = b，所围成的图形的面积，如图7.7-2。 图7.7-2 解：先考虑x处，区间[x,x+dx]上的微小部分，以不变的高度代替变化的高度。此微小部分可看作高为f (x) - g(x)，宽为dx的小矩形，其面积为 ds = [ f (x) - g(x) ] ? dx 将这些微小部分累积起来 § 7. 7 例7.7.1．求由线y = x2，y =1- x2 所围成的图形的面积。 解：①．根据所给边界画出草图。如图7.7-3。 图7.7-3 ②．求交点，确定边界。 ③．计算积分。 § 7. 7 7.7.2 旋转体体积 例如，求由y = f (x) ( f (x) ? 0 )，x = a，x = b，x轴所围曲边梯形，绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。见