第十一讲分类讨思想在解综合题中的应用举例.docVIP

第十一讲　分类讨论思想在解综合题中的应用举例 在研究某些问题时，要根据题目的条件分各种情况来进行解决． 1. 有些概念是分类定义的． 如：绝对值的概念是从正数、零、负数三种情况来分别阐明定义的内涵。 2. 有些法则、性质、定理是分类给出的． 如不等式的性质，在—个不等号两边周乘以—个不为零的数，这个数是正数，不等号方向不变；如果乘的这个数是负数，不等号方向要改变 . 3. 有些方程、不等式、函数解析式的系数是以字母形式给出的，字母取值范围的变化，会引起它们类型及性质的变化。 如 ax2 +bx+c=0 ， (a ， b,c 为常数 ) 当 a=0 且 b ≠ 0 时它是一个一元一次方程： 当 a ≠ 0 时，它是一个一元二次方程。由判别式的取值为正数、零、负数，决定出根的情况 . 4. 有些问题图形形状、位置以及它们相对的位置或数量关系有待确定且有多种情况；这类问题往往带有一定的综合性． 针对这些情况，首先要根据题目需要，确定讨论对象，做出分类；然后针对这些对象实施分类讨论，对于比较复杂的问题，还要进行逐级的分类；最后，还要对讨论的结果进行归纳，综合得出结论，这就是一种重要的数学思想方法——分类讨论思想． 分类讨论的步骤可以概括成：“确定对象、分类讨论、归纳综合”三句话，在分类讨论中，需要做到按照同一个标准分类，“不重复”、“不遗漏”：保证分类讨论的科学性与合理性． 例1 解关于 x 的方程： a2 x+a=x+1 ． 解： a2 x+a=x+1 ． (a2 -1)x=1-a 当 a2 -1 ≠ 0 ，即 a ≠± 1 时， x=-； 当 a=1 时， x 为任意实数； 当 a=-1 时，方程无解． 例2 已知：的值． 分析：运用等比性质求解的时候要注意分母之和不能等于零． 解：当 a+b+c ≠ 0 时，由等比性质，得 ( 应用法则时要注意使用条件 ) 例3 如图，直线 y=-x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M 、 N ． (1) 求 M 、 N 两点的坐标； (2) 如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心，警为半径的圆与直线 y=-x+4 相切，求点 P 的坐标． 解： (1) 当 x=0 时， y=4 ． 当 y=0 时， -x+4=0, ∴ x=3 ． M(3 ， 0) ， N(0 ， 4) (2) 当 P1 点在了轴上，并且在 N 点的下方时，设 P1 与直线 y=-x+4 相切于点 A ，连结 P1 A ，则 P1 A MN ．如图 ∴∠ P1 AN= ∠ MON=90 °． P1 NA= ∠ MNO 中， P1 AN ∽ AMON, ． 在 Rt OMN 中， OM=3 ， ON=4 ， MN=5 ．又 P1 A =， P1 N=4 ． P1- 点坐标是 (0 ， 0) ． 当 P2 点在 x 轴上，并且在 M 点的左侧时，同理可得 P2 点坐标是 (0 ， 0) ． 当 P3 点在 x 轴上，并且在 M 点的右侧时，设 P3 与直线 y=-x+4 相切于点 B ，连结 P3 B ，则 P3 B MN ．如图 OA ∥ P3 B ． OA=P3 B, ∴ P3 M =OM=3 ． OP3 =6, ∴ P3 点坐标是 (6 ， 0) ． 当 P4 点在 y 轴上，并且在点 N 上方时， 同理可得 P4 N=ON=4 ． OP4 =8, ∴ P4 点坐标是 (0 ， 8) ． 综上， P 点坐标是 (0 ， 0) ， (6 ， 0) ， (0 ， 8) ． 例4 在平面直角坐标系． xoy 中，以 O 为圆心， 12 为半径，作圆交 x 轴于 E 、 F 两点，交 y 轴于 C 、 D 两点， G 为劣 DE 上一点，且 EG=ED (1) 求 G 点的坐标； (2) 求过 G 、 E 、 F 三点抛物线的解析式： (3) 点 A 为 x 轴正半轴上一点，且在圆 O 的外部，过 A 作圆 O 的一条切线 AB ，切点为 B ，交 y 轴正半轴于点 H ，若以点 A 、 O 、 H 为顶点的三角形与三角形 EGF 相似．求 AF 的长． 解： (1) 过点 G 作 CG ′ x 轴，垂足为 G ′， 由于 EG=ED 又 EF 为直径 GOE=60 ° ∴ GG ′ =6， OG ′ =6 G(-6 ， 6) 解后反思：根据题目的叙述，点 G 是在第二象限．线段的长对点的坐标有重大的影响，但决不是说线段的长就对应于点的坐标．要注意在第二象限，点 G 的坐标的符号特征是负、正，因此这一点的坐标应该是 (-6 ， 6) ．我们要注意点的位置，确定符号，然后再借助线段长完成点的