§4 利用数学规律进行检查.docVIP

§4 利用数学规律进行检查 根据题设条件建立方程，人数常规看，其解答是有一定规律性的。 例如，对称性方程组之解，当足码交换后结果不变；微分和积分互为逆运算，因此微分的结果，可用积分演算倒回去，反之亦然；方程演算求解的结果，也可用图解法来验证等等。 下面举例说明： 用足码交换法检查： 设一个对称方程组为： 这表明是一个对称性方程，其解的足码进行互换后，结果不变。根据这一规律可以检查物理对称方程的正误。这足码交换法的来源。 当然，应当指出，这种检查方法必须首先保证方程正确无误。如果所建立的方程是有错误的？但是一个对称性方程，这时用足码交换法来检查，就会作出错误的判断。 兹举例说明： 一电源电动势为7V时，输出电流3A；当电源电动势升至10V时，输出电流6A，求电源的内阻r与端电压V。 ［解］据欧姆定律有： 联立方程求解得： 因为上述方程具有对称性，因此可以用足码交换法来检查答案的正误： 根据题设条件建立的方程是无误的，所以可以用足码交换法检查，解答是正确的。 ［例2］将截面、长度都相等的碳棒和铁棒串联起来，当温度是200C时碳棒和铁棒的电阻分别为400欧和100欧，问温度取什么值时？二者电阻相等？ ［解］根据电阻和温度的关系可列出： 式中 联立方程解得： 根据所建立起来的方程具有对称性，因此可用足码交换法来检查： 可见上述解答是对的。 质量为、的两个小球发生弹性对心碰撞。碰撞前小球的速度分别为、，求碰撞后两球的速度、。 ［解］根据动量守恒定律和动能守恒定律有： 这两式联立求解得： ［检核］将式(1)、(2)的脚标中所有1、2对换，式(1)、(2)仍然不变。这表明式(1)、(2)是对称性方程。因此，其结果的表示式也具有对称性：将式(3)、(4)中所有脚标1与2对换，这两个表示式没有发生任何变化。可见结果是正确的。 利用图解法检查： ［例4］有两个互相垂直的力作用于一质点，其合力是25kg·f，已知一个力比另一个力多5kg·f, 求此二力的大小。 ［解］设这二力为x、y ，根据题意有： 解此方程组得两组解：15、20；-20、-15，带负号的一组，其合力方向相反。 这一结果是否正确呢？可用图解法检查。 方程式(1)为不过原点的直线；方程(2)为一圆，半径25,直线和圆相交于两点：。(见图4-4-1) 两者结果相符，所以解答正确。 图解法还可检查电阻、电容的串并联计算等。 用逆演算检查： 如加减法、乘除法可互相检核一样，微积分也互为逆运算，也可以用来互相核参。 ［例5］一分布电荷在距离O点为r的地方产生的电势为： 式中α为一常数，q是正的。 试求距O点r远处的电场强度，并计算穿过O为球心，半径为r的球面的电通量。 计算在距离r处的电茶体密度，并计算以O点为球心，半径为r的球面中所包含的电量。 ［分析］电势的表达式具有球对称性的特性，电场强度也应是球对称的，即：。至于可从场强与电势之间的微分关系来计算。 ［解］ 由于电场的球对称性，故穿过半径为r的球面的电通量 当时，而相应的场强。 为了计算，以半径r和作两个同心球圆，于是： 根据高斯定理可知，包含一这两个球面间的体积中的电荷。 以r为半径的球面中的电荷，即： 上述结果对不对呢？由于整个过程中，主要是微分演算，故可用积分法核对，这一工作留给读者自己去做。 逆运算检查，也可将所得结果看作已知量，而将原来的已知量当作未知量来进行。如核算的结果与题设一致，解答即为可信。 ［例6］质量m=10g的子弹，以速度垂直地穿过木板。当子弹穿过一木板(厚度)后，能量减少了一半(减少的能量全部用来克服阻力作功)。如果木板阻力f与其厚度b成正比，即，k为比例系数。问该木板增厚一倍，其情况如何？ ［解］ 可见，子弹穿不过厚为20cm 的木板。 当子弹刚好穿过木板，即： 这表明子弹只能打穿14.14cm 深。 这个结果对吗？现用逆运算的方法核对。 以作为已知条件，则原题可改写为下面的形式： 质量m=10g的子弹，以初速度穿过厚度为的木板后能量减少了一半，若木板阻力与其厚度成正比()，木板增厚至，子弹恰能穿过，求。 ［解］ 即： 所得结果与题设条件相吻合，因此结果无误。 数量级估算： 当你感到答案数值离奇时，可用数量级的估算来核对。 ［例7］核聚变反应式为： 已知各静止质量为： —1.00783u； —7.01601u； —4.00260u (u为原子质量单位，)。求核聚变释放的能量。 ［解］聚变前总静止质量为；聚变后总的静止质量为。由于，故这是放能反应。释放的能量为：