线性代数历年真题程序.docVIP

54.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设是阶矩阵,满足(是阶单位矩阵,是的转置矩阵),,求. 【考点】矩阵的运算性质. 解 . 55.(1995—Ⅳ)已知向量组;;,如果各向量组的秩分别为.证明:向量组的秩为4. 【考点】向量组线性相关的性质;向量组秩的计算. 解 方法一:要证向量组的秩为4,等价于证明线性无关. 由,得线性无关,而线性相关,则可由线性表示,即存在,使得.令,则.又,则线性无关,故,则线性无关,所以向量组的秩为4. 方法二:由,得线性无关,而线性相关,则可由线性表示,即存在,使得.则 所以. 56.(1995—Ⅳ)已知二次型. （1）写出二次型的矩阵表达式; （2）用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵. 【考点】二次型的矩阵;用正交变换把二次型化为标准型的方法. 解 (1) 二次型的矩阵,则二次型的矩阵表达式. (2)的特征多项式,则的特征值. 对应的正交单位化特征向量; 对应的正交单位化特征向量; 对应的正交单位化特征向量. 令正交矩阵,所求正交变换,二次型的标准型. 57.(1995—Ⅴ)对于线性方程组 讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论. 解 方法一(一般情形): (1)方程组有惟一解且; (2)当时,,方程组有无穷多解,且 则方程组的通解其中为任意常数; (3)当时,,方程组无解. 方法二(特殊情形):方程组的系数行列式. (1)当,即且时方程组有惟一解; (2)当时,,方程组有无穷多解,且 则方程组的通解其中为任意常数; (3)当时,,方程组无解. 58.(1995—Ⅴ)设三阶矩阵满足 , 其中列向量.试求矩阵. 【考点】已知矩阵的全部特征值与全部线性无关的特征向量,求. 解 由的特征值.令,则 . 59.(1996—Ⅰ,Ⅱ)已知二次型 的秩为2. （1）求参数及此二次型对应矩阵的特征值. （2）指出方程表示何种曲面. 【考点】矩阵的秩;矩阵的特征值;正交变换的性质. 解 (1) 二次型的矩阵.由.又的特征多项式 ,则的特征值. (2)二次型在某一正交变换下的标准形,则表示椭圆柱面. 【注意】 (1)二次型的秩即为二次型矩阵的秩; (2)正交变换不改变向量的长度,从而也不改变图形的形状. 60.(1996—Ⅱ)求齐次线性方程组的基础解系. 【考点】求解齐次线性方程组. 解 ,则方程组的解,令 ,得方程组的基础解系. 61.(1996—Ⅳ)设矩阵 , （1）已知的一个特征值为3,试求; （2）求矩阵,使为对角矩阵. 【考点】分块对角矩阵的性质;特征值的计算;实对称矩阵的对角化. 解 (1)由. (2)由为对称矩阵,要使为对角矩阵,即将实对称矩阵对角化. 由(1)得的特征值,故的特征值.又 的属于特征值的正交单位化的特征向量; 的属于特征值的正交单位化的特征向量. 令,则. 62.(1996—Ⅳ)设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组的解,即.试证明:向量组线性无关. 【考点】向量组的线性相关性的判别; 齐次线性方程组的基础解系的性质. 解 方法一:设,即 等式两边左乘,得,则. 由线性无关,得,所以线性无关. 方法二:由,得 若线性相关,显然线性无关,则可由线性表示,即是的解,矛盾.所以线性无关,则,故 即向量组线性无关. 63.(1996—Ⅴ)已知线性方程组 讨论参数取何值时,方程组有解,无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解. 【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论. 解 (1)当时,方程组无解; (2)当时,,方程组有解; ①当时,,方程组有无穷多解,且 方程组的通解,其中为任意常数; ②当时,,方程组有无穷多解,且 方程组的通解,其中为任意常数. 【注意】此题为什么不用特殊情形下的方法二呢?请读者思考. 64.(1996—Ⅴ)设有4阶方阵满足条件,其中是4阶单位阵.求方阵的伴随矩阵的一个特征值. 【考点】特征值的计算及性质. 解 由为的特征值.由,则的一个特征值为. 【注意】为的特征值. 65.(1997—Ⅰ)设是秩为2的矩阵, 是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基. 【考点】齐次线性方程组的基础解系;非齐次线性方程组解的性质;Schmidt正交化过程. 解 先求的基础解系.由的基础解系含个线性无关的解向量.显然线性无关,则为的一个基础解系. 将正交单位化