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正态分布 图  SEQ 图 \* ARABIC 1 1.1概率密度函数 正态分布的特征 （1）正态曲线在横轴上方均数处最高； （2）正态分布以均数为中心，左右对称； （3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差S。μ是位置参数，当s固定不变时，μ越大，曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当μ固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭； （4）正态曲线下面积的分布有一定规律： ①正态分布时区间（μ-1s,μ+1s）的面积占总面积的68.27%；②正态分布时区间（μ-1.96s,μ+1.96s）的面积占总面积的95%；③正态分布时区间（μ-2.58s,μ+2.58s）的面积占总面积的99%。 1.2、分布函数 图 SEQ 图 \* ARABIC 2 正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即概率密度）。 对于任何正态分布随机变量 x 落入任意区间（ a ， b ）的概率可以表示为： P(axb) 。其概率的计算是求概率密度函数在该区间的定积分，又由于求定积分反应在几何图形上是曲线在该区间上与 x 轴所夹的面积，所以，在曲线下某区间的面积等价于某区间的概率。 1.3、正态分布可度函数 图  SEQ 图 \* ARABIC 3 1.4、正态分布失效率函数 ??(x) =f(x)/R(x) 图  SEQ 图 \* ARABIC 4 1.5、应用、问题、案例 考察某个工程的质量，由于偶然误码差的存在，其实际质量评分是不相同的，如将所有的数值按一定的组距进行大小分组整理，每组的分值个数叫做频率。以频率为纵坐标，数值为横坐标，可求出各组坐标，用线段把这些点连接起来，就可得到“中间高，两边低，左右近似对称”的折线。这折线叫实验分布曲线。由于它近似于理论分布曲线，可根据理论分布曲线的数学表达式，对工程质量的情况进行研究和讨论。 这就是说，废品率-=1--合格率。当质量评分分布曲线符合正态分布时，在士3s的范围内，实际上几乎包含了整个工程质量评分数。 单位混凝土预制构件厂 1999 年 3?～ 6 月份为某电厂生产混凝土预制桩过程中混凝土试块抗压实验数据为例?? 用正态分布法检查混凝土构件的质量?。根据甲方要求?? 混凝土预制桩设计强度等级为 C35平均强度达到 C35 以上即 35N?mm2 为合格 同时为了和致造成浪费 规定其上限值不能高于设计强度的 20??? 即 42N? mm?。其测试数据见表?? 我们把组距为1. SN/mm2，对以上数据进行分组，每组中数据个数就是频数m;，把有关数值列成表2 算数平均值= 41 .078 (N/mm2) 标准差= 3 .024 (N/mm2) 根据表2，第二、三两栏资料，画出实验分布曲线见图3中的虚线条形“频数分布直方图”分散范围66=6X 3. 024=18.144 (N/mm2)，或写成士9. 024(N/mm2(，画出正态分布曲线，根据规定，大于35 . 00(N/mm2)且小于42 . OON/r之间的为合格品，所以合格品分为A,B两部分计算。则合格率为} (ZA ) = 0. 4778，不合格率为 (ZA ) = 0. 0222则合格率为.(ZB) = 0 .1779，不合格率为:=0.3821,则废品总率为 ZA = 0 . 0222 +0 . 3821 = 0 . 4043 即有40.43%属废品。这说明:超下限的废品率2.22%不算太大，混凝土质量基本上是好的;但超过上限的废品率为38.21 0 o，虽不能算作废品，但毕竟是个很大的浪费，尤其在当前，某些施工单位常以多有水泥来提高混凝土强度，这是技术经济管理上所不能允许的。应该采取措施，适当降低平均值(x)为缩小标准差(6}，以求得即满足质量要求，又符合经济的原则。 通过以上分析，我们可以看出，运用正态分布对工程中的质量问题进行分析和评定，可随时控制和掌握生产过程的质量动态，并针对生产过程中出现的质量问题，及时采取措施和对策以解决，从而保证生产质量始终处于控制状态，最终达到生产质量的稳定，并可降低成本，提高经济效益。同时也可促进和提高质量管理工作的效益和效率。 对数正态分布 2.1、概率密度函数 图  SEQ 图 \* ARABIC 5 变量的频数或频率呈中间最多，两端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。 ? 的大小改变图形的高度与峰值的大小，?决定图形的位置。若 X 是一个随机变量， Y＝ln(X)服从正态分布：Y=ln(X)～N(?,?2)则称 X 服从对数正态分布。? 和 ? 不是对数正态分布的均值和标准差，