2013高中数学 -2 三角形中的几何计算同步导学案 北师大版必修5.doc

§2　三角形中的几何计算 知能目标解读 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 重点难点点拨 　　重点：应用正、余弦定理解三角形. 　　难点：灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 学习方法指导 一、三角形中的几何计算问题 正弦定理、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角有着密切的联系.解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形等，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决，这是化复杂为简单，化未知为已知的化归思想的重要应用. 注意： 三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式. 二、正、余弦定理在几何计算问题中的应用规律 1.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算. 2.对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理（后面将要学习）求最值. 3.正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明. 知能自主梳理 　　三解形面积公式 （1）S=　　　　　　　　　　　　； （2）S=absinC=　　　　　　　　　　=　　　　　　　　; (3)S=·r·　　　　　　　　　(r为内切圆半径). ［答案］　（1）底×高　（2）acsinB　bcsinA　（3）(a+b+c) 思路方法技巧 命题方向　利用正、余弦定理求边长 ［例1］　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°, ∠BCD=135°,求BC的长. ［分析］　本题的图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD中，已知两边和其中一边的对角，用余弦定理可求出BD的长，在△BCD中，应用正弦定理可求出BC的长. ［解析］　在△ABD中，由余弦定理， 得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,　 设BD＝x,则有142=102+x2-2×10xcos60°, ∴x2-10x-96=0, ∴x1=16,x2=-6(舍去)，∴BD=16. 在△BCD中，由正弦定理知 ∴BC=sin30°＝8. ［说明］ 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解. 变式应用1 如图所示，在△ABC中，已知BC=15,AB：AC=7；8,sinB=,求BC边上的高AD的长. ［分析］　要求高AD的长，可先求AB的长，再在Rt△ADB中，求出AD的长. ［解析］　在△ABC中，由已知设AB=7x,AC=8x,x0,由正弦定理，得, ∴sinC=. ∴∠C=60°或120°. 若∠C=120°，由8x7x，知∠B也为钝角，不合题意，故∠C≠120°. ∴∠C=60°. 由余弦定理，得（7x）2=(8x) 2+152-2×8x×15cos60°, ∴x2-8x+15=0,解得x=3或x=5. ∴AB=21或AB=35. 在Rt△ADB中，AD=ABsinB= ∴AD=12或20. 命题方向　利用正、余弦定理求角度问题 ［例2］　在△ABC中，已知AB=AC边上的中线BD=,求sinA的值. ［分析］　要求sinA的值，需根据“D是AC的中点”这个条件，取BC的中点E，连结DE，则DE∥AB，所以∠ABE+∠BED=180°,根据题目中的条件cos∠ABC=,进而求得cos∠BED=－.又由ＤＥ　AB,得DE＝×.在△BDE中，利用余弦定理可求出BE，从而BC可求.再在△ABC中，利用余弦定理可求出AC，再利用正弦定理即可求出sinA的值. ［解析］　如图所示，取BC的中点E，连结DE，则DE∥AB,且DE= AB=. ∵cos∠ABC=,