全国高中数学联合竞一试试卷(B卷).docVIP

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（B卷） （考试时间：10月17日上午8：00-9：20） 题号 一 二 合计 加试 总成绩 9 10 11 得分 评卷人 复核人 考生注意： 1．本卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超出装订线。 3．不能用计算器。 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分，把答案填在横线上。 得分 评卷人 1．函数的值域是 ． 2．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 ． 3．双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ． 4．已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中且存在常数、 使得每一个正整数都有，则 ． 5．函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ． 6．两个人轮流掷骰子，每人每次掷骰子两颗，第一个使两子点数之和大于6者为胜，否则轮另一人投掷。先投掷人获胜的概率是 ． 7．正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则 ． 8．方程满足的正整数解的个数是 ． 得分 评卷人 二、解答题：本大题3小题，共56分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9．（本题满分16分）已知函数，当时，，试求的最大值。 得分 评卷人 10．（本题满分20分）已知抛物线上的两个动点和，其中且，线段垂直平分线与轴交于点，求△面积的最大值。 得分 评卷人 11．（本题满分20分）数列满足，． 求证：． 2010年全国高中数学试卷的值域是 . 解：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 解：令，则原函数化为，即 . 由 ， ， 及 知 即 （1） 当时（1）总成立； 对； 对. 从而可知 . 双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 . 解：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为 . 又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 . 已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 . 解：设的公差为的公比为，则 （1） ， （2） （1）代入（2）得 ，求得. 从而有 对一切正整数都成立， 即 对一切正整数都成立. 从而 ， 求得 ， . 函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 解：令则原函数化为,在上是递增的. 当时，, ， 所以 ； 当时，， ， 所以 . 综上在上的最小值为. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为 . 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 . 解一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而， . 设分别与平面、平面垂直的向量是、，则 由此可设 ， 所以， 即. 所以 . 解二：如图， . 设与交于点 则 . 从而平面 . 过在平面上作,垂足为. 连结,则为二面角的平面角. 设,则易求得 . 在直角中，, 即 . 又 . . 方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是 336675 . 解：首先易知的正整数解的个数为 . 把满足的正整数解分为三类： （1）均相等的正整数解的个数显然为1； （2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设两两均不相等的正整数解为. 易知 ， ， . 从而满足的正整数解的个数为 . 二、解答题（本题满分56分） 9.（本小题满分16分）已知函数，当时，，试求的最大值. 解一： 由 得 （4分） . （8分） 所以 ，