全国高中数学联赛江赛区初赛题.docVIP

2011年高中数学联赛、填空题（本题满分分，每小题分） ． 2． 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 . 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）． 4． 已知，则 ． 5． 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ． 6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前 n项和等于 ． 7． 设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ． 8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中， 则 ． 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 ． 10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值 是 ． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围． 12．设．若时，，且在区间上的最大值为 1，求的最大值和最小值． 13．如图，P是内一点． （1）若P是的内心，证明：； （2）若且，证明：P是的内心． 14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数． 证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数． 2011年高中数学联赛、填空题（本题满分分，每小题分） ． 答案：－8 基础题，送分题，高考难度 2． 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 . 答案： 基础题，送分题，高考难度 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）． 答案： 基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错 4． 已知，则 ． 答案： 计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度 5． 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案： 可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案 6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前 n项和等于 ． 答案： 高考难度级别，基础好的同学可以做出来 7． 设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ． 答案：(0,2) 这是一道高考题 8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中， 则 ． 答案：6 这也是一道高考题 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 ． 答案：4 还是一道高考题 10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30 这是2011年苏州市一模的第十四题。 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围． 解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程， 得 因为，所以 简单，很简单 12．设．若时，，且在区间上的最大值为 1，求的最大值和最小值． 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得， 故有，从而且． 若有实根，则， 在区间有即消去c，解出 即，这时，且． 若无实根，则，将代入解得． 综上． 所以，单调递减 故． 注重分类讨论 13．如图，P是内一点． （1）若P是的内心，证明：； （2）若且，证明：P是的内心． 证明：（1） 这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有 14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数． 证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数． 证明：设，其中p，q为互质的正整数，则． 设k为任意的正整数，构造， 则． 非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识 总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。 尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是