A连续函数的性质说课.pptVIP

§2 、连续函数的性质 三、小结 注意 f 不一定连续，所以构造函数g(x)=x2-f(x)也未必连续. 注意 f 不一定连续，所以构造函数g(x)=x2-f(x)也未必连续. 注意 f 不一定连续，所以构造函数g(x)=x2-f(x)也未必连续. 注意 f 不一定连续，所以构造函数g(x)=x2-f(x)也未必连续. 注意 f 不一定连续，所以构造函数g(x)=x2-f(x)也未必连续. * * 上页 下页 返回 结束 [Th4.2] 局部有界性 若函数f在x0连续，则存在 使函数f在 内有界 [Th4.3] 局部保号性 则对 使得对 有 若函数f在x0连续，且 注：若f (x0) 0，则对 使得对 恒有 常取 一.连续函数的局部性质 上页 下页 返回 结束 [Th4.4] 四则运算 则 (这里g(x0)≠0) 若函数f和g在x0连续， 也都在x0连续。 [Lemma] 若 函数g在u0连续， 则有 证： 因为函数g在u0连续，故 当 时有 当 时有 (1) (2) 又 故对上述 联系(1)知： 当 时有 故 注意　定理4.5是引理的特殊情况. 例如, 上页 下页 返回 结束 [Th4.5] 函数g在u0连续， 则复合函数 函若数f在x0连续， 函数g?f在x0连续，即 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; Ｅx1 解 2.变量代换(u=f(x))的理论依据; 原式 求 上页 下页 返回 结束 Ex2 解 同理可得 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 二.闭区间上连续函数的基本性质 [Def1] 设函数f定义在数集D上， 若 则称f在D上有最大值f(x0)。 若 则称f在D上有最小值f(x0)。 例如, [Th4.6](最值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 上页 下页 返回 结束 Co.(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.即 若 则 使得 上页 下页 返回 结束 几何解释: M B C A m a b 上页 下页 返回 结束 定义: 几何解释: 上页 下页 返回 结束 证： Ex3 证明：方程 在区间[0, a+b]中至少有一个根。 函数F(x)在[0, a+b]上连续，而F(0) = -b0 如果sin(a+b)=1，则 就是方程F(x)=0的 一个根。 如果sin(a+b)1，则F(a+b)0，从而F(x)在[0,a+b] 的两个端点的值异号。由零点定理知必有 使 即是函数方程F(x)=0的一个根。 上页 下页 返回 结束 Co 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例 证 由零点定理, 上页 下页 返回 结束 例4 证 由零点定理, 上页 下页 返回 结束 证： 不妨设f在[a,b]上严格增，则其值域为 可知f必有反函数，且f -1与f有相同的单调性↗。 则 设 可在(a,b)内x0的两侧各取 [Th4.8]　若f在[a,b] 上严格单调连续，则f -1在f([a,b])上连续 异于x0的点 于是 且有相同的严格单调性。 三.反函数的连续性 由Th1.1 且它们 且它们与x0的距离小于ε。 设与x1, x2对应的函数值分别为 由f严格增性知y1y0y2。令 则当 对应的 之间， 的值都落在x1与x2 故有 这就证明了f -1在点y0连续，从而f -1在(f(a), f(b))内连续。 时， 类似可证f -1在端点 f(a), 及f(b)分别右连续和左连续。 所以f -1在[ f(a), f(b)]上连续。 P78例5、6、7不再重复，课后自己看。 设 用连续性定义证明f在 不妨取 证： 于是 1、问题的提出 则有 四.一致连续性 连续。 取 则当 时，有 由x0的任意性可知f在(0,+∞)上连续。 此处δ的选取不仅与ε有关还与x0有关。 上页 下页 返回 结束 不存在。 假设有 当 证： 那么，依此假设对 问题1 时有 与x0无关，使对 上式亦成立。 使当 时，有 这样当 f在(0,+∞), 能否找到的仅与ε有关而与x0无关的δ , 上页 下页 返回 结束 且 时，上式也成立， 于是可得 矛盾。 存在。 当 证： 于是 问题2 时有 当 取 使当 时，有 可得 f在(a,+∞), (a0)能否找到与x0无关的δ(ε), 上页 下页 返回 结束 在 从上面两个问题可以看出 时 及 上都是 连续的， 但显而