A高级微观数学说课.ppt

* 假设A1.1 凸集上的实值函数,每当f:D→R是一个实值函数,我们将总会假设D ?R是一个凸集. 定义: 设集合 D ? R为凸集，函数 f :D?R;若 ? x1,x2 ? D, t ? ( 0 , 1 ) ，xt =tx1＋(1- t)x2 均有 f(xt)≥tf(x1)+(1-t)f(x2) ， 则称 f(x) 为凸集D上的凹函数。 若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称 f(x) 为凸集 D上的严格凹函数。 A1.4.2:凹函数 * y x2 x1 y1 x yt y2 f(xt) f(x) * 定理A1.13 一个凹函数的图象上及其下方的点总会形成一个凸集 设A={(x,y)|x?D,f(x)≥y}是f:D→R的图象上及其下方的点的集合----在这里,D?Rn是一个凸集,并且,R?Rn;则: f是一个凹函数?A是一个凸集 证明: 第一部分:f是凹函数? A={(x,y)|x?D,f(x)≥y}是凸集 xt?tx1+(1-t)x2 ? 设f是凹函数 f(xt)≥tf(x1)+(1-t) f(x2) 对一切x1,x2 ?D且t?[0,1] ? (P.1) * 任取(x1,y1)?A, (x2,y2)?A,由A的定义则有 ? f(x1)≥y1,且 f(x2)≥y2 (P.2) 为证明A是凸的,必须表明:对?t ?[0,1],凸组合 (xt yt) ?(tx1+(1-t)x2 , ty1+(1-t)y2 ) 也属于A.由于D是凸的x1,x2?D, xt ?(tx1+(1-t)x2 ?D, 我们只需证明f(xt)≥yt 对(P.2)第一个乘t,第二个乘(1-t)相加, tf(x1)+(1-t)f(x2) ≥ ty1+(1-t)y2 根据(P.1)有: f(xt)≥yt. (xt yt) ?A, A是凸的 ? * 选择x1 ?D, x2 ?D,设y1=f(x1), y2=f(x2), 第二部分: A是凸集? f是凹函数 ? f(xt)≥yt. (xt, yt) ?A 由于A 是凸的 ? (xt, yt) ?A ? A的定义 f(xt)≥ty1+(1-t)y2. ? f(xi)≥yi. f是凹函数 * 定义: f :D?R是拟凹的,当且仅当对所有x1,x2 ，xt =tx1＋(1- t)x2 均有 f(xt)≥min[f(x1),f(x2)] t ? [0 ,1] A1.4.3 拟凹函数 定理A1.14拟凹性与上优集 f :D?R是拟凹函数,当且仅当对所有y?R,S(y)是一个凸集. * 证明: 充分性:f是拟凹的,要证明S(y)是凸集 设y是R内的任何点,S(y)是相对于y的上优集. x1,x2是S(y)内的任意两点. x1? S(y),x2 ? S(y), f(x1)≥y, f(x2)≥y (P.1) f(xt)≥min[f(x1),f(x2)]≥y 第一个不等式是拟凹函数定义, 第二个不等式是由(P.1)推出 f(xt)≥y, xt ? S(y), S(y)是凸的 ? ? * 设y?R,S(y)是凸集,S(f(x2))必定是凸集, ?x2?S(f(x2))(f(x2)? f(x2 )=y0) x1,x2 是D内任意两点,可以假设 f(x1)≥f(x2) (P.3) 必要性证明: 设S(y)是凸集,拟证f是拟凹的 S(y0) ≡{x|x?D,f(x)?y0}被称为相对于水平y0的上优集 ? x1?S(f(x2)) ,S(y)是凸集, ? f(Xt)≥f(x2) f(xt)≥min[f(x1),f(x2)] ? ? f是拟凹的 根据S(y)定义 根据(P.3) Xt?S(y) 根据S(y)定义 * 定理A1.15 凹性蕴涵着拟凹性 一个凹函数总是拟凹性,一个严格凹函数总是严格拟凹性 * 编号 函数特征 命题关系 集合特性 1 f是凹的 ? 处于f的图象下方的点集是凸的 2 f是凸的 ? 处于f的图象上方的点集是凸的 3 f是拟凹的 ? 上优集是凸的 4 f是拟凸的 ? 下劣集是凸的 5 f是凹的 ? f是拟凹的 6 f是凸的 ? f是拟凸的 7 f是凹的 ? -f是(严格)凸的 8 f是(严格)凹的 ? -f是(严格)凹的 * （1）一个基本概念——函数的基本概念 函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：X?Y；或写成X?Y；以及y＝f（x）。