高中数学必修二--第2章_2.3_2.3.1_直线与平面垂直的判定讲述.ppt

* * * * * * * * * * * 高中数学人教版必修2课件 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 /wnsrgfwz/ 1．下面四个命题，其中真命题的个数是( ) B ①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的 两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于 同一直线的两条直线平行． B．3 个 D．1 个 A．2 个 C．4 个 解析：②、③、④正确． /wnrswz/ 2．下列命题(a、b 表示直线，α表示平面)中的真命题是( ) A 3．下列命题中，假命题是( ) D A．过一点有一个平面与已知直线垂直 B．过一点至多只有一个平面与已知直线垂直 C．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 D．过一点可能有两个平面与已知直线垂直 /wns/ 4．直线 l 和平面α内无数条直线垂直，则( ) D A．l 和α相互平行 B．l 和α相互垂直 C．l 在α内 D．不确定 解析：直线 l 和平面α内无数条直线垂直，可能是 l∥α， l ?α，或 l 和α相交(也可能垂直)，即 l 和α的位置关系不确定． /wnsgw/ 重点 线面垂直的判定 1．判定直线和平面是否垂直，通常有三种方法： (1)定义法：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α.l－平面α的垂线，α －直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足(线线垂直→线 面垂直)； (2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条 直线与该平面垂直．用符号语言表示为：若 l⊥m，l⊥n，m∩n ＝B，m?α，n?α，则 l⊥α； (3)若两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直 于这个平面． /wnsyl/ 2．根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂 直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂 直．要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化． 3．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一 点有且只有一个平面与已知直线垂直． 难点 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和 它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，一般先定 斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简 述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”． 通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和 斜足是产生线面角的关键． /wnsxsyl/ 线面垂直判定定理的应用 例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，AB＝AC，DB ＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC⊥平面 AED. 图 1 证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED. 由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可． /wnsylpt/ 下面结论成立的是( ) 1－1.如图 2(1)，在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是边 G1G2、 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方 形折成一个几何体(如图 2(2))，使 G1、G2、G3 三点重合于点 G， (1) (2) 图2 A．SG⊥平面 EFG C．GF⊥平面 SEF B．SD⊥平面 EFG D．GD⊥平面 SEF 解析：在题图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在题图(2)中， SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面 EFG. A /wnsgfwz/ 1－2.如图 3，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD，AC ⊥CD，E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外)，证明：CD⊥AE. 图 3 证明：在四棱锥 P－ABCD 中， ∵PA ⊥底面 ABCD，CD?平面 ABCD， ∴PA ⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA ∩AC＝A. ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC，∴CD⊥AE. /wnsbywz/ 直线与平面所成的角 例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 所成的角． 图 4 解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a. /wnsrwz/ ?A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影 ?∠BA