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大连理工2004年高等代数试题
大连理工大学2004年硕士生入学考试高等代数试题
说明：填空题的括号在原试题中均是横线
一．填空题（每小题四分）
二：（24分）设R,Q分别表示实数域和有理数域，f(x),g(x)属于Q[x].证明：
若在R[x]中有g(x)|f(x),则在Q[x]中也有g(x)|f(x)。
f(x)与g(x)在Q[x]中互素，当且仅当f(x)与g(x)在R[x]互素。
设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。
三：（10分）设A是秩为r的m乘n阶矩阵，证明存在秩为n-r的n阶方阵B使AB=0.
四：（10分）设A是n级方阵，证明存在一可逆矩阵B及一个幂等矩阵C使A=BC.
五：（20分）设V是4维欧式空间，A是V的一个正交变换。若A没有实特征值，求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和.
六：（10分）设n阶矩阵A满足A*A=0，确定A的Jordan标准型.
七：（20分）设J是表示元素全为1的级矩阵，设f(x)=ax+b是实系数多项式，令A=f(J)
求J得全部特征值和特征向量
求A得所有特征子空间
八：（16分）设V是实数域上n维线性空间，f为V上的正定对称双线性函数，U是V的有限维子空间，W={c|f(c,b)=0,b是中任意向量}。证明：
W是V的子空间
V是U和W的直和
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