一类非线性反应扩散方程数值解法.doc

摘  要  反应扩散方程在化学、生物学等许多数学物理领域有着广泛的应用， 具有深刻的物理背景，因而得到广大数学工作者以及工程技术人员的普遍 关注和重视，无论从理论上还是从数值分析上都有必要深入的研究，本文 对一类非线性反应扩散方程的初边值问题的数值解法进行了研究，基于该 模型的特点及性质，提出了两种不同的差分格式，在离散过程中针对非线 性项的的特性进行了线性化处理，文中详细介绍了这两种差分格式的构造 过程，分析了它们截断误差，在分析差分格式的稳定性时，采用能量法进 行分析，得出了两种著分格式的稳定性条件。所构造的差分格式与以往所 构造的差分格式（【１］［４１｜７１）相比，新构造的差分格式具有计算简单，稳定性 条件较好等优点。新构造的这两种差分格式相比较，虽然它们具有相同的 收敛精度，单从稳定性来说，差分格式二的稳定性条件优于差分格式一，而 从计算量比较来看，格式一的计算量比格式二的计算量要小。 本文分为三个部分，在第一部分引言中介绍了反应扩散方程的物理背 景，有关解的存在性，唯一性，正则性及解的一些其他性质讨论的结果， 并对现阶段反应扩散方程的主要研究结果进行了介绍，第二部分差分格式 中主要介绍了两种差分格式的构造过程，分析了差分格式的相容性，截断 误差，稳定性，收敛性。对两种差分格式进行了数值试验给出了数值解和 正确解的图像，直观说明了所构造的差分格式的稳定性，收敛性等性质。 第三部分总结和新问题的提出，总结所做的工作，分析所得出的结果，并 提出了所存在的问题和将要研究的方向。 关键词： 反应扩散方程；稳定性； 能量法；唯一性收敛性． Ａｂｓｔｒａｃｔ  Ｒｅａｃｔｉｏｎ－Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ  ｉＢ耐ｄｅｌｙ  ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ，ｂｉｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ ｆｉｅｌｄｓ，ａｎｄ ｉｔ ｈａｓ ｐｒｏｆｏｕｎｄ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ．ｓ０ ｍａｎｙ ｂｏｆｆｍｓ ａｎｄ ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｇｒｅａｔ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｉｔ． ｂｏｔｈ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎｕｌｙｓ玛ｎｅｅｄ ｇｅｔ ｄｅｅｐ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｔ ｉｓ ｍａｉｎｌｙ ｄｉｓｃｕｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ  ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｅａｃｔｉｏｎ－ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｅａｔｕｒｅ ａｎｄ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅｓ．Ｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｏｆ ｄｉｓｐｅｒｓｅ．ｗｅ ｕｓｅ＆ ｓｕｅｅｅ蟠ｉｖｅ １／ｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｔｅｍ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｂｙ ｉｔｓ ｓｔｒｕｃ七山．ｅ．Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｗｅ ａｌｓｏ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｍｉｎｕｔｅｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｐｒｏｅｅ日ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅｓ，ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅ ｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ  ｅｒｒｏｒ，ｏｎ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｗｅ  ｕｓｅ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｗｉｔｈ ｆｏｒｍｅｒｌｙ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｓｃｈｅｍｅｓ ｉｓ ｍｏｒｅ ｅａ８ｉｌｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ，ａｎｄ ｉｔｓ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｂｅｔｔｅｒ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｗｏ ｎｅｗ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅｓ，ｔｈｅｙ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ｂｕｔ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ Ｔｗｏ ｉｓ ｂｅｔｔｅｒ ｔｈａｎ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ Ｏｎｅ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｉｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｐａｒｔｓ，ｉｎ ｐａｒｔ  ｏｎｅ ｗｅ ｍａｉｎｌｙ ｉｎｔｒｏ－ ｄｕｃｅ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｂａ