4.3曲线的凹凸性及曲率.pptVIP

曲线凹凸的判定: 练习. 求曲线 三、复杂函数图形的描绘 例3. 描绘 4、1 曲率及其计算公式 例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 4、2 曲率圆与曲率半径 内容小结 4. 连续函数的最值 * * * 曲线的凹凸性及曲率 1、函数曲线的凹凸性与拐点 2、函数曲线的渐近线 3、复杂函数的作图 4、函数曲线的曲率 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性? 　　定义 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的． 一、（一）曲线的凹凸性与拐点 　 定理　 设函数 在区间 内存在二阶导数， 　　(2)若　　　　时，恒有　　　　，则曲线　　　　在　　　内凸的． 　　(1)若　　　　时，恒有　　　　，则曲线 在　　　内凹的； 例 解 注意到, （二）曲线的拐点 　　求拐点的一般步骤： 　　②令　　　　，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点； 　　①求函数的二阶导数　　　； 　　③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的　　　的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点． 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上是凹的, 是凸的 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 x o y l ． 二、 渐近线 * * 曲线渐近线的分类 注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线． 　　解　因为　　　　　，所以　　　是曲线的水平渐近线． 　　又因为5是　　　　的间断点,且 　　，所以　　是曲线的铅垂渐近线． 　　例　 求曲线　　　　的水平渐近线 和铅垂渐近线. 　　例 　求曲线　　　　　的水平渐近线和铅垂渐近线. 　　解　因为　　　　　　　　，所以　　是曲线的水平渐近线． 　　又因为1和-1是　　　　　的间断点，且 　　　　　　，　　　　　　　，所以　　 和　　　是曲线的铅垂渐近线． 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 3) (极大) (拐点） (极小) 4) 2 - 1 - 1 2 o 1 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 四、平面曲线的曲率--- 曲线的弯曲程度决定于 描述曲线在一点的弯曲程度 在光滑弧上自点 M 取弧段 对应切线转角 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 曲率K 的计算公式 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 抛物线 例 上哪一点处的曲率最大？ 解：根据曲率的计算公式 由 代入公式得 若 a, b 给定，则 时，曲率 K 最大， 即 即抛物线的顶点处曲率最大 设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. P 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 *