小学六年级奥数第七讲旋转体的计算课件.docVIP

第七讲 旋转体的计算 　　分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）． 　　旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线． 　　圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长．由此可得 　　S圆柱侧＝2πrl， 　　其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）． 　 　　圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上页下角图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得 　　　　 l是圆锥侧面的母线，C是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径． 　　圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形．这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得 　　　　 l是圆台侧面母线长， C上、 C下分别是圆台上底和下底周长， r上、 r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）． 　　圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即 　　V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱底面的半径． 　　圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一， 　　 　　　　 r上、r下分别是上底和下底的半径． 　　例1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度． 　　分析与解答 如下图． 　　由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r； 　　甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25， 　　则π（1.5r）2h＝πr2（h＋25）， 　　 　　　2.25r2hr2（h＋25）， 　　　　　　2.25h＝h＋25， 　　∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）． 　　答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米． 　　例2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）． 　　 2πr＝11π，解得r＝5.5厘米． 　　因为母线长是22厘米，所以圆锥的高 　　 674立方厘米． 　　2米，圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，结果取整数部分）？ 　 　　　 　　 　　 306公斤． 　　例4 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度． x厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积．根据体积公式有 　　 x3＝(52×10－196）×4＝54×4＝27×8＝33×23， 　　∴x＝6． 　　答：石子取出后，容器内水面的高为6厘米． 　　例5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为0．7米，底面圆周长为6.28米，圆台的高为1.5米，下底面周长为4.71米．如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）． 　　 　　分析与解答 　　 　　圆锥的体积： 　　 　　 　　圆台上底半径：r上＝r＝1米， 　　 　　 　　　　　　 　　∴草垛体积为： V圆锥＋V圆台＝0.73＋3.63＝4.36（立方米）， 　　故草垛的重量为：150×4.36＝654（公斤）． 　　答：草垛约重654公斤． 　　例6 如下右图，在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为20厘米，求这个管子的体积． 　　分析 如上左图，AB是截面圆环的最长直线段，O是截面圆环的圆心．过O作AB的垂线，垂足是C，以 O为圆心，以OC为半径作圆，即管截面的内圆周．连结AO，根据勾股定理有：AO2＝AC2＋CO2， 　　∴AO2－OC2＝AC2，同理AO2－OC2＝BC2， 　　∴S圆环＝π·AO2－π·OC2＝π·（AO2－OC2） 　　　　 　　　　 　　则管子的体积为： 　　π·r2外径·h－πr2内径h＝圆环面积×h 　　＝100π×35＝3500π（立方厘米） 　　答：这个管子的体积为3500π立方厘米． 　　例7 一个长方形的长为16厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方体，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留π，即不用近似值代替π．） 　　分析与解答 如下图， 　　记这个长方形为ABCD，对角线AC的中点为O．过O作EF垂直于AC，分别交 BC、 AD于 E、 F．由对称性知道： 　　EO＝OF． 　　设P为AO上的任一点，过P作AO的垂线，分别交折线ABE和线段 AF于 M和N，那么 　　MP＞PN． 　　因此，四边形ABE