计量经济学第三讲.docVIP

三、系数的估计误差与置信区间 OLS估计的概率分析 根据（2-1）式计算的只是回归系数a,b的点估计值，计量经济研究中经济使用系数（的估计值）来定量分析解释变量对y的影响程度。因此，分析过程中需要了解参数估计值与真值之间究竟有多大误差，或者说，两者的接近程度如何，是否能以一定的概率确定参数真值所属的范围。例如，例2中曾估计出我国城镇居民的边际消费倾向为0.6237，这个估计值有多大误差？边际消费倾向的上下限各为多少（置信区间）？为了说明这些问题，需要先确定OLS估计的概率分布。 在高斯——马尔可夫定理的证明过程中已经得到： 而且 假定： ～～～ 与真值的偏差，随着抽样的不同，误差大小是一个随机变量，因此考虑概率意义下的平均误差。由于， 平均误差（平方）= 上式解释：若不取平方，则，第二等式应用的是： 上式的含义：即等于估计量的方差；这一点也容易理解，因为OLS估计是无偏估计，均值即为参数真值，所以估计量匀值的平均偏差————方差也就反映了估计量与参数真值的平均偏差。 这样，参数估计量的平均误差为： ， 其中，涉及到随机误差项的方差 ，这个值通常并不知道，实际计算中一般采用的无偏估计量： 来估计，并且用符号表示系数的估计误差： 同理a的估计误差为： 又称为系数的标准误差（或标准差）。Eviews软件在估计回归模型时，将同时输出系数的估计值和标准差。如在例2中，的标准误差分别为86.4262和0.0144。 需要指出的是，系数的标准误差只是反映了估计量与真值的相对偏离程度；越小，由的近似误差越小，但不能认为之间的绝对误差就是，这可以从参数的置位区间得到进一步的说明。 系数的置信区间 利用OLS估计式（2-1）得到的只是系数的点估计，为了对系数的取值情况有更多的了解，可以按一定的可靠性确定系数的取值范围：用统计术语来说，就是在一定的置信度下，求得系数的置信区间。 可以证明，统计量： ～，由t分布表可以查得临界值，使得： ，即： 所以系数b的100（1）%置信区间为： 即以100（1）%的概率保证回归系数属于该区间内。 在例2中，若取，查表得=2.447，，，所以系数b的置信区间为： 0.6237±2.447×0.0144=(0.5885, 0.6589) 即以95%的概率保证，我国城镇居民的边际消费倾向在(0.5885, 0.6589)该区间内。 显然，置信区间越小，对回归系数的估计精度就越高。从置信区间的计算公式可以看出，置信区间的长度为，在取定的情况下，是一个常数，所以置信区间的长度主要取决于系数的标准差。越小，则估计的误差越小，估计值与真值越接近。因此，称为系数的估计误差，并用它来衡量估计的精度是合理的；而且，在一定的概率下，与真值的绝对误差充其量不会超过。 四、多元线性回归模型的参数估计 OLS估计的矩阵表示形式 对于多元线性回归模型 如果利用最小二乘法估计模型的参数，同样应该使残差平方和达到最小，即有： 因此，参数估计值应该是下列方程的解： 等价于： （2----2） 称（2-2）式为正规方程组。若定义矩阵： 则正规方程组（2-2）式可以用矩阵形式表示成如下形式： 所以，参数的最小二乘估计为： 系数的估计误差与置信区间 若记 可以证明： 其中，为矩阵C对角线上第i个元素，为随机误差项的方差，可以用无偏估计量进行估计： 这样，系数估计值的标准差为： 利用EViews软件可以直接求得系数估计值的标准差。 同理，因为统计量 ～，回归系数的100（）%置信区间为： 例3 我国国有独立核算工业企业生产函数。根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：。其中，L，K分别为生产过程中投入的劳动与资金，时间变量t反映技术进步的影响。表2-7列出了我国1978～ （1）建立工作文件：CREATE A 78 94 （2）输入统计资料：